1. Прибор состоит из двух блоков первого типа и трёх блоков второго типа. События: A_k ={исправен k–й блок первого типа, (k = 1, 2)}, B_i ={исправен i–й блок второго типа, (i = 1, 2, 3)}. Прибор работает, если исправны оба блока первого типа и хотя бы один блок второго типа. Выразить событие C, означающее работу прибора, через A_k и B_i.

2. Найти вероятность того, что наугад взятое пятизначное число оканчивается на три одинаковые цифры.

3. На отрезок [ 0, 4 ] случайно бросаются две точки. Найти вероятность того, что одна из них находится от левого конца отрезка на расстоянии меньшем h₁ = 2, а другая от правого конца отрезка на расстоянии меньшем h₂ = 1. Сделать чертёж.

4. В урне 16 шаров, среди которых 10 белых и 6 чёрных. Наудачу извлекают 4 шара. Определить вероятность того, что: а) все шары белого цвета; б) 1 шар белый, а остальные чёрные; в) все шары одного цвета.

5. В точке С, положение которой на телефонной линии АВ длиной 500 м равновозможно, произошёл разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки А на расстоянии, не меньше 200 м.

6. Имеется 4 ячейки и 3 частицы. Частицы наугад размещаются по ячейкам. Чему равна вероятность того, что все частицы попадут в одну ячейку?

7. Имеется 10 одинаковых урн, из которых в девяти по 2 черных и 3 белых шара, а в одной урне – 4 черных и 1 белый шар. Из урны, взятой наугад, извлекли шар. Какова вероятность, что он белый?

8. В среднем восьми из десяти зрителей нравится игра актёра А, а пяти из двадцати не нравится игра актёра В. Случайно взятого зрителя спросили об игре актёров А и В. Какова вероятность, что ему нравится игра хотя бы одного из них?

9. Вероятность того, что год урожайный – 0,7. Какова вероятность, что из пяти рассматриваемых лет менее трёх лет будут неурожайными?

10. Производство дает 1% брака. Какова вероятность, что из взятых 1100 изделий будет не более 17 бракованных?

11. Три пассажира наугад рассаживаются в 2–х вагонах. Случайная величина X – число пассажиров, севших в 1–й вагон. Для случайной величины X найти: 1) ряд распределения; 2) функцию распределения; 3) M(X) и D(X).

12. Три стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания равны 0,6 ; 0,7 ; 0,8 соответственно. Случайная величина X – число попаданий в мишень. Найти: а) ряд распределения; б) M(X), D(X).

13. Случайная величина X имеет плотность распределения

.

Найти: 1) параметр с; 2) функцию распределения F(x); 3) P(2 < X < 6); 4) математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X); 5) графики функций F(x) и f(x); 6) функцию распределения F_Y(y) и плотность распределения f_Y(y) для случайной величины Y = 5X – 1.

14. Случайная величина X равномерно распределена на [a, b]. Дано математическое ожидание M(X) = – 1 и дисперсия D(X) = 3. Найти: а) значения параметров a, b; б) функцию плотности f(x) и функцию распределения F(x);

в) вероятность попадания случайной величины X на отрезок [– 3, 2]; г) построить графики функций f(x) и F(x); показать на них геометрический смысл P (– 3  X  2).

15. Два шара случайным образом разбрасываются по 3-м лункам. Случайные величины: X – число шаров в первой лунке; Y – число пустых лунок.

Найти: а) законы распределения для X и Y; б) закон распределения для двумерной величины (X, Y); в) основные характеристики: M(X), M(Y), D(X), D(Y), r(X, Y).

Типовой расчёт по теории вероятностей и случайным величинам

Вариант № 10

1. Прибор состоит из двух блоков первого типа и трёх блоков второго типа. События: A_k ={исправлен k–й блок первого типа, (k = 1, 2)}, B_i ={исправлен i–й блок второго типа, (i = 1, 2, 3)}. Прибор работает, если исправен хотя бы один блок первого типа и хотя бы один блок второго типа. Выразить событие C, означающее работу прибора, через A_k и B_i, а также .

2. Десять книг, среди которых две книги одного автора, в произвольном порядке расставляются на полке. Найти вероятность того, что книги одного автора окажутся рядом.

3. На отрезок [ 0, 2 ] случайно бросаются две точки. Найти вероятность того, что одна из них находится от левого конца отрезка на расстоянии меньшем h₁ = 0,5, а другая от правого конца отрезка на расстоянии меньшем h₂ = 1. Сделать чертёж.

4. В урне 15 шаров, среди которых 10 белых и 5 чёрных. Наудачу извлекают 4 шара. Определить вероятность того, что: а) все шары белого цвета; б) 2 – шара белых, а остальные чёрные; в) все шары одного цвета.

5. На карточках написаны цифры 1, 2, 3, 6, 7, 0. Какова вероятность, что наугад составленное при помощи этих карточек четырёхзначное число будет чётным числом и начинаться с нечётной цифры?

6. Куб, все грани которого окрашены, распилили на 27 равных кубиков. Какова вероятность, что случайно взятый один из этих кубиков будет иметь только 2 окрашенные грани?

7. При попадании снаряда в первый отсек самолет сбивается с вероятностью 0,3, а во второй – с вероятностью 0,6. Попадания в каждый отсек равновероятны. Самолёт сбит одним выстрелом. Какова вероятность, что снаряд попал во второй отсек?

8. В 1-м ящике 2 белых и 8 чёрных шаров, а во 2-м ящике 6 белых и 4 чёрных шара. Из каждого ящика взяли наугад по 2 шара. Какова вероятность, что среди них будет хотя бы один чёрный шар?

9. В студии телевидения 3 телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что в данный момент она включена, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент работает две камеры.

10. Вероятность опечатки на странице равна 0,0025. В книге 800 страниц. Какова вероятность того, что с опечатками будут не более 3 страниц?

11. В ящике 3 красных и 2 чёрных шаров. Последовательно берут наугад 4 шара (с возвращением). Случайная величина X – число взятых красных шаров. Для случайной величины X найти: 1) ряд распределения; 2) функцию распределения; 3) M(X) и D(X).

12. Из 28 костей домино наугад взяты 3 кости. Случайная величина X – число костей, на которых выпадает «шестёрка». Найти: а) ряд распределения; б) M(X), D(X).

13. Случайная величина X имеет функцию распределения .

Найти: 1) параметр с; 2) функцию плотности f(x); 3) P(1,5 < X < 2); 4) математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X); 5) графики функций F(x) и f(x); 6) функцию распределения F_Y(y) и плотность распределения f_Y(y) для случайной величины Y = 4X + 3.

14. Случайная величина X равномерно распределена на [a, b]. Дано математическое ожидание M(X) = 3 и дисперсия D(X) = . Найти: а) значения параметров a, b; б) функцию плотности f(x) и функцию распределения F(x); в) вероятность попадания случайной величины X на отрезок [0, 5]; г) построить графики функций f(x) и F(x); показать на них геометрический смысл P (0  X  5).

15. В кармане 3 монеты: 1 рубль, 5 рублей и 10 рублей. Наугад вытаскивают 2 монеты. Случайные величины: X – сумма (в рублях);

Найти: а) законы распределения для X и Y; б) закон распределения для двумерной величины (X, Y); в) основные характеристики: M(X), M(Y), D(X), D(Y), r(X, Y).