1.3. Моделювання сигналів

Кожен сигнал має свої особливості і потребує специфічних методів опису і дослідження. Тому в теорії кожному класу сигналів відповідає своє математичне представлення, своя математична модель. Курс ”Електронні системи” є переважно теоретичним і ми надалі будемо досліджувати реальні сигнали, користуючись в основному їх моделями.

Математичною моделлю сигналу називають його опис з допомогою математичних об'єктів (функцій, векторів, розподілів, тощо), які дозволяють робити висновки про особливості сигналу, використовуючи формальні математичні процедури для його опису.

Математично сигнал вважається повністю визначеним, якщо задано функцію S(t) – часове представлення сигналу, що визначає його миттєві значення, або функцію S(j) – спектральне представлення сигналу, яка визначає всі його спектральні складові.

Реальні сигнали дуже складні і конкретні, а математичні об'єкти, які їх описують, є спрощеними і абстрактними. Тому між сигналом-оригіналом і його моделями не вдається отримати повного збігу по всіх параметрах. Будь-яка математична модель є спрощенням реального сигналу. Але це спрощення досягається шляхом зосередження уваги на найбільш важливих обставинах і відкиданням усіх інших – несуттєвих для даного дослідження. Наприклад, у спектральному представленні сигналу увагу зосереджено на його частотному складі, а часові характеристики не розглядаються взагалі.

Відносини між сигналом-оригіналом і його моделями не є рівноправними. Але роль моделей дуже велика, оскільки з їх допомогою вдається глибше проникнути в суть досліджуваних електронних явищ і процесів внаслідок відкидання несуттєвих моментів, які затіняють основні особливості сигналу. В той же час завжди слід чітко оцінювати межі застосовності тієї чи іншої моделі до реального сигналу.

При моделюванні сигналів не обмежуються статичною фіксацією відомостей про сигнал-оригінал. Для отримання необхідних даних і узагальнень потрібно проведення ряду перетворень наявної інформації за строго заданими правилами. Ці правила, при закладанні в модель перетворюють її з статичної в динамічну.

1.4. Спектральне представлення періодичних неперервних сигналів

Основним завданням спектрального представлення сигналу S(t), є його вираження через суму гармонічних сигналів, виходячи з його часового задання. В результаті такого представлення легко аналізувати, який спектр частот притаманний даному сигналу S(t), оскільки кожний гармонічний сигнал відповідає коливанням з певною частотою.

Для аналізу періодичних неперервних сигналів з періодом T зручно вибирати початок системи координат по осі часу в точці t = T/2. Тоді, виходячи з загальних виразів (1.1) і (1.4), основою спектрального представлення періодичного сигналу S(t) скінченною тривалістю  є вираження його у вигляді суми елементарних функцій, в ролі яких використовують функції синуса та косинуса:

, (1.3)

де ; ; ; . (1.4)

Частота ₁ називається основною частотою спектрального аналізу (розкладу). У спектр (1.11) входять лише гармонічні сигнали з круговими частотами _k, кратними основній частоті, тобто _k = k₁, де k = 1, 2, 3, …

Як видно, у вираз (1.3) входить сума із нескінченного числа гармонічних складових, тобто, у загальному випадку, для передачі скінченного періодичного сигналу необхідна нескінченна смуга частот з F = . Реально ширина смуги частот сигналу F завжди обмежена. Тому точне спектральне представлення сигналу S(t) можна замінити на наближене з скінченним числом тригонометричних гармонічних складових:

. (1.5)

При цьому існує й обернена закономірність: сигнал, що має обмежений частотний спектр, повинен бути нескінченним у часі.

Число складових, які необхідно використовувати в сумі (1.5), визначається простим правилом: в реальних електронних системах ширину спектра сигналів, які не мають чітких спектральних границь, обмежують смугою частот, у якій сконцентровано гармоніки, що несуть біля 90% енергії сигналу. З аналогічної умови визначають і тривалість сигналів за їх часовим представленням S(t), яке не має чітких часових границь. У цьому випадку теж допустимо відкидати малосуттєві “ділянки” сигналу, які несуть в собі до 10 % енергії сигналу.

Практично спектральне представлення сигналів можна виконати кількома способами:

1. Якщо сигнал описується простою функцією часу, то його спектральне представлення можна отримати “вручну” звичайними математичними перетвореннями, які виражають функцію S(t) через синуси і косинуси певних аргументів. Отримані аргументи і задають спектр сигналу.

2. Якщо легко беруться інтеграли (1.2), то спектральне представлення можна отримати шляхом розрахунку цих інтегралів “вручну”.

3. Для складних функцій S(t) інтеграли (1.2) беруться чисельними методами на комп’ютері і таким чином проводиться спектральне представлення цього сигналу.

4. Сучасні комп’ютерні програми моделювання електронних систем (Electronics Workbench, Micro-Cap, Micro SIM та інші) мають спеціальні функції проведення Фур’є-аналізу сигналів. Їх використання дозволяє швидко отримати спектральне представлення будь-якого сигналу.

Графічно спектральне представлення сигналу можна зобразити у вигляді двох повністю еквівалентних форм. Перша форма включає два амплітудні спектри: спектр амплітуд косинусів a_k і спектр амплітуд синусів b_k.

Друга форма представлення сигналів включає амплітудний спектр і фазовий спектр. Особливості цих спектрів слідують із використання звичайних функціональних перетворень, у результаті яких можна отримати: , де , а . Таким чином, сигнал S(t) можна представити також у вигляді .

В цілому з наведеного аналізу слідує, що неперервний періодичний сигнал із періодом T має дискретний спектр, тобто спектр, який складається з окремих гармонік, частоти яких кратні основній частоті ₁ і віддалені одна від одної на величину  = ₁. При цьому ₁ = 2/T, тобто співпадає із основною гармонікою періодичного сигналу.