1.5. Спектральне представлення неперіодичних сигналів

Неперіодичний сигнал можна розглядати як періодичний із періодом . Тоді, використовуючи результати попереднього розділу, у розкладі основна частота спектрального представлення ₁ = 2/T  0. А це означає, що інтервал частот між сусідніми гармоніками  = ₁ стає дуже малим і теж прямує до нуля. Отже, спектр такого сигналу стає практично неперервним або суцільним. Тоді у відповідності з інтегральною формою перетворення Фур’є

, (1.6)

де S(j) – комплексна спектральна густина (спектральне представлення сигналу), яка в загальному випадку є комплексною функцією і яка задає фази та частоти нескінченного числа гармонічних сигналів, які потрібно взяти для спектрального представлення сигналу S(t). Для спрощення математичного аналізу дискретних сигналів на осі частот поряд з додатною піввіссю умовно вводять і піввісь від’ємних частот. Ці від’ємні частоти не мають реального фізичного змісту і проявляються лише як результат використання математичного апарату інтегрального перетворення Фур’є. Відповідно, від’ємні частоти не враховують при визначенні ширини спектру F.

Перетворення легко змінити і на обернену операцію. А саме, знаючи часову форму сигналу, можна визначити його спектральну густину

. (1.7)

Використовуючи властивості функцій комплексної змінної можна отримати , де – дійсна частина спектральної густини сигналу; – уявна частина спектральної густини сигналу; – модуль спектральної густини сигналу або амплітудний спектр сигналу (спектр амплітуд сигналу); – спектр фаз сигналу або фазовий спектр сигналу.

Спектр амплітуд і спектр фаз показує, яку амплітуду і яку фазу потрібно взяти для гармонічної складової сигналу з частотою _х, щоб можна було її включити в ролі гармонічної складової для неперіодичного сигналу S(t). Наприклад, для  = _х такий гармонічний складовий сигнал має бути .

У більшості випадків при аналізі сигналів використовують лише їх амплітудний спектр. Тому надалі ми обмежимося розглядом саме амплітудних спектрів.

Особливий інтерес на сьогодні становлять різні імпульсні сигнали. Тому актуальним є з’ясування особливостей амплітудних спектрів саме одиночних імпульсів, з яких складаються імпульсні сигнали.

Не проводячи об’ємних математичних викладок, сконцентруємо увагу лише на загальних закономірностях спектру C() для одиничних імпульсів:

1. Амплітудний спектр одиночного імпульсу є неперервним (суцільним) і спадним із ростом  .

2. Ширина спектру F є нескінченною.

3. Реально ширину спектру обмежують смугою, в якій сконцентровано близько 90 % енергії сигналу.

4. При зміні положення імпульсу по осі часу спектр C() не змінюється.

5. Форма спектру, ширина спектру і швидкість його спадання залежить від форми імпульсу і його тривалості ₀.

6. Амплітуда імпульсу не впливає на форму, ширину спектру і швидкість спадання спектру.

7. Збільшення тривалості імпульсу в N раз зменшує ширину спектра в N раз.

8. Для імпульсів певної форми добуток F₀ = , де  – постійна, яка визначається лише формою імпульсу. В більшості випадків   2 і, відповідно, ширину спектру одиночного імпульсу можна приблизно брати рівною F = 2/₀.