Доказательство:

F(x)=f(x)+ x где - пока неизвестное число.

F(x) – непрерывна на отрезке [a,b] как сумма непрерывной функции

f(x) – дифференцируема на отрезке [a,b] как сумма дифференцируемой функции.

Выберем число , так чтобы на отрезке [a,b] F(x) принимало равное значение.

F(a)=f(a)+ a

F(b)=f(b)+ b

F(a)=F(b) f(a)-f(b)= (a-b) =

F(x) – удовлетворяет условию теоремы Ролля на отрезке [a,b]  C (a,b): (c)=0, то есть (x)=f’(x)+ , 0=f’(c)+ f’(c)=- = То есть на кривой которая наклонена к оси х под таким же углом как и секущая =tg а(альфа)=f(x) c(a,b)

55-7

По правилу Лопиталя предел равен

Ответ:

= = = = = = = = = = =

55-8

Для функции y=

56-1

По определению точкой перегиба называется

Ответ:

Точка, разделяющая промежутки выпуклости вверх и вниз

56-2

Установить соответствие для дважды дифференцируемой функции

y = f (x) , x (a,b)

Ответ:

Значения (x) на (a,b)

Функция y = f (x) на (a,b)

1. Положительны - Д. Выпукла вниз

2. Отрицательны - В. Выпукла вверх

56-3

Дифференцируема на (a,b) функция y = f (x) возрастает на этом интервале, если для x (a,b) (x)

Ответ:

1. Положительна

56-4

Если через точку (a,O) проходит правая вертикальная асимптота графика функции y=f(x), то имеет место соотношение (через предел)

Ответ:

f(x)=

56-5

Если x0 - точка максимума для функции y = f (x) , то (x0 ) по теореме Ферма равна

Ответ:

(x0 )=0

56-6

Формулировка теоремы Коши такова _________________________. Доказательство

Ответ:

Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:

1) f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b]

2) f(x), g(x) диффер. на интервале (a,b)

3) g’(x) 0 на интер. (a,b), то сущ. точка с

Доказательство:

g(b) g(a) (неравны по теореме Ролля).

1) F(x) – непрерывна на [a,b]

2) F(x) – дефференцированна на (a,b)

3) F(a)=0 ; F(b)=0

по теореме Ролля сущ. с (a,b); (с)=0

56-7

По правилу Лопиталя предел равен

Ответ:

= = = =(0* )= = = = = = = = = =1

56-8

Для функции y= +

57-1

Первым достаточным условием существования экстремума функции y = f (x) в точке x0 является

Ответ:

Переход производной. Измена знака производной при переходе через х0.

57-2

Если через точку (O,b) проходит левая горизонтальная асимптота графика функции y = f (x), (x - ) то имеет место соотношение (через предел)

Ответ:

b= f(x)

57-3

По теореме Коши существует точка о (a,b) такая, что = ,если функции f (x) и g(x), x (a,b) удовлетворяют условиям

Ответ:

f(x), g(x) C[a,b] (a,b) (непрерывны и дифференцируемы), (x) 0 x (a,b)

57-4

Установить соответствие для дважды дифференцируемой функции y = f (x), x (a,b)

Ответ:

1. Выпукла вверх – Б. (x)<0

2. Убывает – В. (x)<0

57-5

Установить соответствие. Характер разрыва функции y = f (x) в точке x0

Ответ:

1. Разрыв 1-го рода – Г. =c и =d

2. Разрыв 2-го рода – В. =

57-6

Формулировка правила Лопиталя для неопределенности вида такова _________________. Доказательство

Ответ:

Если = =0 и =А, то =А

Доказательство:

Доопределим f(a)=0=g(a)=> = =по теореме Коши =A

57-7

По правилу Лопиталя предел равен

Ответ:

= = = = = = = = = =e

57-8

Для функции y=x*

58-1

По определению, функция y = f (x) называется возрастающей, если

Ответ:

на [a;b]

f(x1) f(x2) при a x1 x2 b

58-2

Если f(x)= , то для графика функции y = f (x) прямая x=a является

Ответ:

4. Вертикальной асимптотой

58-3

Достаточным условием выпуклости вверх (вниз) функции y = f (x) является

Ответ:

вверх: (x) 0 x (a,b)

вниз: (x) 0 x (a,b)

f C[a;b]

58-4

По теореме Ролля, существует точка (a,b) такая, что =0, если функция y = f (x) удовлетворяет условиям

Ответ:

f C[a;b] (a;b) (непрерывна и дифференцируема) и f(a)=f(b)

58-5

Установить соответствие для дифференцируемой функции y = f (x) , x (a,b), =0, x0 (a,b)

Ответ:

Характер экстремума y = f (x) в точке x0

1. Максимум – Д. >0, x (a,x0) и <0, x (x0,b)

2. Минимум – В. <0, x (a,x0) и >0, x (x0,b)

58-6

Формулировка необходимого условия существования точки перегиба такова ______________________. Доказательство

Ответ:

58-7

По правилу Лопиталя равен

Ответ:

= = = = = = = = = = = =

58-8

Для функции y=

59-1

Установить соответствие

Ответ:

Функция y = f (x)

Условия

1.Четная – Б. f (x) = f (−x)

2. Нечетная - В. f (−x) = − f (x)

59-2

Наибольшим значением функции y = f (x) непрерывной на отрезке [a,b] является

Ответ:

59-3

Дважды дифференцируемая функция y = f (x), x (a,b), выпукла вверх, если на (a,b)

Ответ:

2. (x) <0

59-4

Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и имеет производную в интервале (a,b), тогда по теореме Лагранжа

Ответ:

c (a,b): f(b)-f(a)= (c)(b-a)

59-5

Установить соответствие для дважды дифференцируемой функции y = f (x) , x (a,b); = =0, x0 (a,b)

Ответ:

Утверждения

x0 есть точка

1. меняет знак в окрестности точки x0 - Г. Экстремума

2. меняет знак в окрестности точки x0 - Б. Перегиба

59-6

Достаточное условие возрастания (убывания) функции таково _______________. Доказательство

Ответ:

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b) и >0 ( <0) для x (a,b), то эта функция возрастает (убывает) на интервале (a,b).