1. Метод стрельб.

Основные черты этого метода рассмотрим для случая n=1 и граничных условиях вида и . Если отбросить второе граничное условие и выбрать некоторое значение параметра , то начальная задача превращается в задачу Коши. Численно интегрируя ее, получим решение, которое удовлетворяет первому краевому условию. В целом , то есть это решение не удовлетворяет второму граничному условию. Тогда, изменяя , добьемся того, что с необходимой точностью. Таким образом, задача сводится к задаче Коши и решению алгебраического уравнения. Если , то в качестве начальных условий для задачи Коши берут , …, и ведут пристрелку параметра до выполнения граничных условий, которые остаются.

Этот метод трудно применять, если задача Коши плохо обусловленна, то есть когда малые изменения параметра резко меняют решение .

2. Фазовый метод.

Допустим, что качественное поведение решения известно. Решение имеет колебательный характер, причем амплитуда сильно зависит от координаты, то есть . Это соотношение неоднозначно определяет амплитуду и фазу. Для определенности удовлетворим их дополнительному соотношению . Для многих задач на колебания с помощью несложных преобразований можно разделить граничные условия на граничные условия для амплитуды и фазы. Граничные условия для фазовой переменной имеют простой вид

где n- количество полуволн на отрезке .

Таким образом, задача на собственные значения для фазовой переменной легко решается методом стрельб. Важной особенностью этой задачи является то, что другому условию удовлетворяет только одно значение из всего спектра начальной задачи. Следовательно, метод стрельб всегда сходится именно к собственному значению, что и требуется. После нахождения фазы уравнение для амплитуды легко интегрируется в квадратурах.

3. Разностный метод.

Этот метод обычно используется в тех случаях, когда задача Коши плохо обусловлена. Введем на интервале сетку и заменим в начальной задаче все производные некоторыми разностными соотношениями. Тогда вместо дифференциального уравнения и граничных условий получим систему алгебраических уравнений:

Таким образом, задача сводится к нахождению собственных значений для матрицы.

Однако сходимость разностного решения к точному решению хорошо исследована только для задачи Штурма - Лиувиля.

4. Метод дополнительного вектора.

При составлении разностных уравнений разностную собственную функцию можно считать вектором в N+1 - мерном пространстве. Увеличивая размерность пространства на единицу, рассмотрим собственное значение как новый компонент этого вектора . Новый вектор назовем дополненным. Относительно компонентов дополненного вектора алгебраическая система перепишется к каноническому виду

Эта система нелинейна, даже если начальная задача была линейной относительно .

Недостатком этого метода является то, что при неудачном выборе нулевого приближения итерации могут не сходиться, или сходиться не к искомому собственному значению.