- •«Физические основы электронной техники. Квантовая механика»
- •Векторная модель атома
- •Сложение моментов количества движения в общем случае
- •Сложение спиновых моментов
- •Возможные типы связи в атоме
- •Полный магнитный момент атома. Множитель Ланде1
- •Релятивистская поправка к энергетическим уровням
- •Спин-орбитальное взаимодействие
Релятивистская поправка к энергетическим уровням
Задача о движении электрона в поле центральной силы, которую мы рассмотрели в розд.2, наиболее корректно развязывается с помощью уравнения Дирака (ф-ла 3.12). При этом решение автоматически учитывает релятивистскую зависимость массы электрона от скорости, а также наличие спину и его взаимодействие с орбитальным моментом.
Поскольку мы не решаем уравнения Дирака, мы воспользуемся уравнением Шредингера, в котором учтем поправку на зависимость массы от скорости. Чтобы получить релятивистское волновое уравнение для движения в центральном поле, запишем релятивистский гамильтониан, а затем заменим величины, которые входят в него, на соответствующие операторы, как это мы делали раньше. Релятивистский гамильтониан
. (6.32)
Определим . Для этого запишем :
,
откуда
.
Подставим это выражение в (6.5.1):
. (6.33)
Мы сбережем в (6.33) третий член, а дальнейшими членами пренебрегаем. Третий член мал по сравнению со вторым, поэтому мы можем рассматривать его как возмущение. Следовательно, соответствующее гамильтониану (6.33) волновое уравнение будет иметь вид
. (6.34)
Если в (6.34) пренебречь третьим членом, то получим нерелятивистское уравнение Шредингера
. (6.35)
Допуская, что собственные функции и собственные значения уравнения (6.34) мало отличаются от таковых в нерелятивистском уравнении (6.35), можно считать, что
.
Из уравнения (6.35) имеем . Применив еще раз оператор и разделив на , получим
, (6.36)
где заменили на (в этом приближения это можно делать). Подставляем (6.36) в (6.34) и получим следующее уравнение
. (6.37)
Рассмотрим движение электрона в кулоновском поле . Обозначив и воспользовавшись результатами разд. 2.1, получим следующее уравнение для радиальной волновой функции :
, (6.38)
где – постоянная тонкой структуры:
. (6.39)
Структура уравнения (6.38) такая же, как и уравнения Шредингера для радиальной части (2.38). Поэтому решение проводится таким же образом, как в разд. 2.2. Сходящееся решение для в виде полинома степени получим только в том случае, когда энергия принимает определенные значения:
. (6.40)
Раскладывая правую часть (6.40) по степеням , получим с точностью до :
, (6.41)
где использовано квантовое число . Принимая во внимание постоянную Ридберга и постоянную тонкой структуры , для термов находим
. (6.42)
Первый член этой формулы есть обычный терм водородоподобного иона, а второй представляет собой искомую релятивистскую поправку
. (6.43)
В формулу входит азимутальное квантовое число , следовательно, для разных поправка принимает различные значения, и это приводит к тому, что так называемое случайное вырождение снимается: термы для одного и того же главного квантового числа будут иметь различные значения.