5.Вопрос

1 сложение 2вычитание 3умножение 4деление 5возведение в степень (формула Муавтра) 6извлечение корня 7решение уравнений При сложении и вычитании складываются отдельно действительные части чисел , и отднльно мнимые части чисел и опять же число записывается в виде z=a+bi Умножаются комплексные число самым обычным способам, умножение двух скобок, надеюсь это все умеют делать . А после этого находим подобные слогаемые , И ПОМНИТЕ I В КВАДРАТЕ РАВНО -1 Деление производится как и умножение , только там один единственный способ . Нужно домножить дробь на комплексное число , которое сопрежено со знаменателем . В ЗНАМЕНАТЕЛЕ ДОЛЖНО ПОЛУЧИТЬСЯ ЧИСЛО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ (БЕЗ МНИМОЙ ЧАСТИ ....PS ТО ЕСТЬ БЕЗ I

6.Вопрос

Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел Формула Муавра.Эта формула позволяет возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид: zn = [r(cos φ + isin φ)]n = rn(cos nφ + isin nφ),  где r — модуль, а — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формуле справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа: z1 / n = [r(cos(φ + 2πk) + isin(φ + 2πk))]1 / n = 

Формула Муавра

Пусть комплексное число z представлено в тригонометрической форме:

z = r(cosφ + i sinφ),

где r – модуль данного числа, а φ его аргумент.

Поскольку при умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы складываются, имеем:

z² = r²(cos2φ + i sin2φ), z³ = r³(cos3φ + i sin3φ), …

Поэтому легко доказать (например, методом полной математической индукции) формулу Муавра, имеющую вид

zⁿ = rⁿ(cosnφ + i sinnφ).

С помощью формулы Муавра можно получить формулы, выражающие cosnφи sinnφ через синус и косинус числа φ:

здесь   – биномиальные коэффициенты.

Формула названа по имени установившего её в 1707 году математика И. Муавра, друга великого И. Ньютона; современный вид формуле придал Л. Эйлер.

Извлечение корня из комплексного числа

Заголовок этого раздела является не совсем точным. Дело в том, что корень из ненулевого комплексного числа однозначно определить нельзя. Он всегда имеет столько значений, какова его степень. Поэтому в данном разделе мы будем говорить о решении уравнения

(17.14)

где неизвестным служит   , а    -- известное комплексное число. Но поскольку в школе решение этого уравнения записывалось в виде   , то, не слишком соблюдая математическую строгость, можно говорить, что мы будем извлекать корень   -ой степени из комплексного числа   . Итак, решаем уравнение (17.14).

Если   , то   . Пусть   . Запишем число   в тригонометрической форме:   . Здесь   и    -- известные величины. Запишем неизвестное число   в тригонометрической форме:   . Здесь   и    -- неизвестны. По формуле Муавра

Таким образом,

Если два комплексных числа равны, то их модули должны быть равны. Поэтому   . В этом соотношении   и    -- положительные числа, следовательно   , где справа стоит обычный арифметический корень из положительного числа.

Если два комплексных числа равны, то аргументы у них могут различаться только на величину, кратную   . Поэтому   ,   . Отсюда находим, что

В итоге получили:

(17.15)

Значения   , отличные от указанных в этой формуле, дадут те же значения   , которые можно получить при 

        Пример 17.9   Найдите корни уравнения   .

Решение. Запишем число   в тригонометрической форме:

то есть   ,   . Тогда

При   получим:

При   получим:

При   получим:

При   получим:

Ответ:   ,   ,   ,   

7.Функции комплексного переменного Основная статья: Комплексная функция • Гамма-функция • Гиперболические функции • Дзета-функция Римана • Комплексный анализ • Комплексный логарифм • Показательная функция • Степенная функция • W-функция Ламберта