Лекция № 26

26.1 О динамике уПравЛяЕмых систем. Введение

Сегодня, в начале 21-го века, мы отчётливо понимаем, что наступила эпоха управляемого движения, эпоха новой механики и физики. Для нас –это прежде всего мехатроника, авионика, станки с ЧПУ. Всё это фактически можно условно объединить одним словом: мехатроника.

Мехатроника как наука есть диалектический синтез аналитической механики, информатики, компьютерной техники, автоматики и теории электро- и других приводов. Это наука об управляемом движении и техника управляемого движения.

26.1. МеханиКа программных жвижений

Как уже говорилось в прошлом семестре при организации движения по программе, сама программа задается уравнениями. В механике управляемого движения роль программ выполняют уравнения связей. Программа является полной, если она однозначно определяет закон движения системы. Программа является не полной, если это условие не выполняется. При полной программе система имеет ноль степеней свободы, т.к. движение полностью кинематически определено, но S степеней подвижности число которых равно количеству обобщенных координат.

Понятия степени свободы s и степени подвижности p в механике управляемого движения разделяются: Где - число уравнений программы движения.

Рассмотрим простой пример работающей по программе системы. Для упрощения понимания возьмём задачу, рассмотренную нами на лекциях по динамике относительного движения. Расчётная схема задачи представлена на Рис. 26.1.

Здесь управляемая модельная система состоит из невесомой трубки, по которой перемещается шарик, подпёртый пружиной. Трубка с шариком и пружиной приводится во вращение пока неизвестным моментом

Рис.26.1

вокруг неподвижной оси с условием, что . Это условие и есть программа движения системы. Её нужно обеспечить. Требуется определить как закон движения шарика вдоль оси х, так и управляющий вращающий момент , обеспечивающий движение по программе . Задача является третьей - смешанной задачей динамики. Заметим, что в этой задаче кинематика вращения трубки определена ! Движение же шарика вдоль оси x не определено: Поэтому программа движения здесь неполная. При этом система имеет две степени подвижности и одну свободы:

.

Пусть при пружина находится в нерастянутом состоянии. Составим уравнения движения системы:

.

Или

Здесь .

Составим выражение кинетической энергии системы:

Найдём потенциальную энергию системы:

Составив функцию Лагранжа и подставив её в уравнения Лагранжа, получим первое уравнение в ПВД:

или .

Здесь , .

Второе уравнение примет вид:

С учётом программы движения , окончательно получим

и

Анализ полученных уравнений показывает, что для того, чтобы трубка вращалась в соответствии с программой движения управляющий вращательный момент должен уравновешивать в любой момент времени момент кориолисовой силы инерции относительно оси вращения. Закон движения шарика вдоль трубки получается естественно таким же, как и в Лекции №5.

Мы рассмотрели наипростейшую задачу программного движения. Естественно, что реальные задачи мехатроники, авионики, другие задачи механики и электромеханики управляемого движения намного сложнее. В каждом конкретном случае приходится создавать свои способы решения. Однако, в целом, задачи с полными программами движения решаемы, например, Д-20 из задачника А.А. Яблонского. Большой класс задач с полными и неполными, в общем случае дифференциальными программами движения, может решаться с использованием метода неопределённых множителей Лагранжа. С точки зрения классической механики, - это механика неголономных систем высших порядков. В последние три - четыре десятилетия в России неголономной механикой высших порядков занимались независимо друг от друга научные коллективы профессоров В.В. Добронравова в Москве (Гартунг, Чуев и другие), Н.Н. Полякова в Санкт-Петербурге в (С.А.Зегжда, М.П.Юшков, Солтаханов и другие) и Г.С. Мигиренко в Новосибирске (А.И. Родионов, В.Ф. Ким, Г.А.Сырецкий).