26.2 Системы с дифференциальными связями

Расширение Классической Механики на управляемые системы с произвольными дифференциальными программами движения наиболее просто может быть построено на основе описания программного движения системы N материальных точек как движения ее несвободной Изображающей Точки (ИТ) под действием аналога Главного вектора задаваемых сил — вектора Силового фактора задаваемых сил . (А.И. Родионов, 1997, НГТУ). ИТ движется в евклидовом пространстве E_3N по ограниченному геометрическими и дифференциальными связями многообразию R_s. и имеет массу М, равную сумме масс точек системы , радиус-вектор . Здесь , есть i-декартовая компонента задаваемых сил - декартовые координаты точек системы, .

Конфигурация и свойства многообразия R_s. определяются s обобщенными координатами , в числе, равному числу степеней подвижности системы, и неголономными удерживающими дифференциальными связями. Заметим, что число степеней свободы рассматриваемой системы в этом случае будет равно . При этом и . Здесь -задаваемая обобщенная сила; - базисные координатные векторы касательного к R_S пространства E_3N; ; — контравариантные компоненты метрического тензора R_S. Они определяются структурой выражения кинетической энергии системы. Дифференциальные связи проявляются как управляющее воздействие на ИТ некоторого заранее неизвестного Силового фактора реакций управляющих связей -

Пусть движение системы по R_s характеризуется неполной дифференциальной программой движения, задаваемой системой уравнений

(26.1)

где и — уравнения программ движения, записанные в обобщенных и декартовых координатах ИТ.

Разложим силовой фактор реакций всех наложенных на ИТ связей на три компоненты: — силовой фактор реакций идеальных связей, — силовой фактор реакций неидеальных связей и — силовой фактор реакций управляющих связей. В соответствии с научной традицией включим в силовой фактор задаваемых сил. Запишем векторное уравнение движения ИТ в виде:

(26.2)

Необходимо определить закон движения системы и найти .

Для дальнейшего решения задачи приведем уравнения (1) и (2) к одному дифференциальному порядку. Вычислим . Здесь r=0 при , а при — r=k-q. Параметры q=1 и q=2 задаются соответственно при нелинейных и линейных по связях.

Разложим каждую составляющую по собственным ортогональным базисам “k-градиент - k-трансверсаль (А.И. Родионов, НГТУ). Это удобно с учетом принятого в теории управления выделения градиентного управления.

(26.3)

Неопределенные множители Лагранжа могут быть представлены в разных видах, удобных при численном решении конкретных прикладных задач: . Трансверсальная компонента определяет часть управления, отличную от k - градиентной.

С учетом всего сказанного замкнутая система уравнений программного движения ИТ примет вид:

(26.4)

Аналитические формы уравнений движения систем с дифференциальными связями. Очевидно, что при наличии даже небольшого числа материальных точек в составе системы, уравнения (4) являются практически не решаемыми. В рамках научной традиции возникает вопрос о переходе от системы уравнений (4) к эквивалентной ей аналитической системе в обобщенных координатах. Фактически это означает "переход от механики материальных точек (тел) к механике движений взаимодействующих парциальных подсистем, образующих систему" Здесь возможен ряд ковариантных форм уравнений движения (А.И. Родионов, НГТУ). Все они выводятся по одному алгоритму путем скалярного умножения уравнений (4) на координатные векторы с последующими преобразованиями. Однако наиболее привычны и удобны при решении прикладных задач такие аналитические формы как "Appell - подобная"

R_sA – форма

(26.5)

и "LaGrange - подобная"

R_sL – форма

, (26.6)

Здесь - оператор Эйлера-Лагранжа (r+1) порядка. - универсальная динамическая мера движения n-го порядка, кинэта (А.И. Родионов, НГТУ) определяемая как:

. (26.7)

— обобщенный силовой фактор r-го порядка: (А.И. Родионов, НГТУ)

, (26.8)

- радиус-вектор i - ой материальной точки системы.

Заметим, что - кинетическая энергия системы, а - энергия ускорений (функция Аппеля).

Для иллюстрации рассмотренной теории приведем несколько примеров разомкнутых моделей управления движением транспортными средствами нелинейным по ускорению или линейным по резкости-рывку.

П.1*. Космический летательный аппарат массой совершает с постоянным по модулю ускорением мягкую посадку на комету. Комета движется по плоской орбите в поле неподвижного гравитационного центра . Требуется определить траекторию движения данного космического летательного аппарата.

Решение. Запишем уравнение неполной дифференциальной программы движения в полярных координатах следующим образом

. (26.9),

Тогда уравнения движения в R_sL форме будут иметь следующий вид:

(26.10)

*Актуальность такого рода задач была подтверждена в докладах секции 1.5.”Механика космического полета” на 9-м Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород-2006г.).

Здесь ,

где .

Конечная форма уравнений (26.10) в ПВД примет вид:

, (26.11)

Её численное решение в безразмерном виде представлено на Рис.26.2 в плоскости .

Рис.26.2

П.2*. По программе испытаний требуется обеспечить линейное изменение во времени функции Аппеля спускаемого аппарата массой m. Аппарат начинает движение в зоне скрещенных электрического и магнитного полей с нулевой точки оси со скоростью . При движении он приобретает заряд q. Требуется определить параметры движения аппарата и его траекторию.

Решение. Уравнения движения массы , имеющей заряд , примут следующий вид в R₂A форме в декартовой системе координат при - градиентном управлении

(26.12)

Здесь , , ,

, .

Тогда конечная форма уравнений разомкнутой модели управления движением аппарата станет такой

(26.13)

Численное решение этой системы уравнений позволяет определить параметры движения аппарата и его траекторию. На Рис. 26.3 представлены в плоскости результаты решения системы (26.13), полученные в среде Mathcad.

Рис.26.3

Подведём итоги. В лекции кратко изложена теория разомкнутых моделей управления систем с дифференциальными связями высших порядков. Рассмотрены простейшие примеры управления по резкости (рывку) движением космических транспортных средств. Теория может быть применена к расчетам движения любых транспортных средств, их узлов, систем вибро- и ударозащиты, стендов для их испытаний, обеспечивающих комфортность пилотов и пассажиров этих средств и многого другого.

Лекция №27