Системы линейных уравнений. Совместные и эквивалентные системы. Элементарные преобразования системы.

(*)

A X B

A*X=B,где A= -матрица коэффициентов системы

-столбец неизвестной -столбец сводных членов системы

Совокупность чисел

X₁=C₁, X₂=С₂,X_n=C_n, , …- называется решением системы(*),если при подстановке их в уравнение обращает их в тождество.

Совместная система- система, которая имеет хотя бы одно решение.

Определённая система-система, которая имеет единственное решение.

Две системы называются эквивалентными, если их множество решений совпадают.

Элементарные преобразования системы:

1)перестановка строк;

2)умножение строки на число ;

3)прибавление к строке другой строки умноженной на число.

Утверждение: элементарные преобразования приводят систему к эквивалентной.

Решение систем с невырожденной матрицей матричным методом и с помощью формул Крамера.

Существует три метода решения систем с невырожденной матрицей:

1)матричный

2)формулы Крамера

3)метод Гаусса

Матричный способ:

A*X=B(*)

Формулы Крамера:

где

; ; -Формулы Крамера

Метод Гаусса (исключения неизвестных)

Составляем расширенную матрицу системы(А/B):

(A|B)=

Обратный ход матрицы Гаусса:

Ранг и базисный минор.

Опр.1 На пересечении ķ строк и ķ столбцов образуется матрица ķ-ого порядка. Её

определитель называется минором ķ-ого порядка.

О пр.2 Рангом матрицы называется – наибольший порядок ненулевых миноров.

Опр.3 Любой ненулевой минор, порядок которого равен рангу наз. – базисным. Его строки и столбцы называются базисными.

Свойства ķ(А):

ķ(А_mxn) min(m;n)

ķ(A)=0 A=0

ķ(An)=n detAn

(максимальный) ( базисный минор)

Утверждение. Элементарное преобразование не изменяет ранг матрицы (не влияет на равенство 0(нулю)).

Линейная зависимость и независимость элементов. Теорема о базисном миноре.

Совок-ть элементов (столбцы)

Линейная комбинация элементов ei : определяется их суммой с каким-либо коэффициентом.

, причем

Совокупность элементов называется линейно зависимой, если хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

Составляем равенство

=0

Линейная независимость Линейная зависимость

Теорема о базисном миноре:

Любая небазисная строка(столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных.

Базисные строки (столбцы) линейно независимы.

Следствие: наибольшее число линейно-независимых строк(столбцов)матрицы равно рангу.

Теорема Кронекера-Капелли. Схема разрешимости произвольных систем линейных уравнений. Свободные и базисные переменные.

Разрешимость произвольных систем линейных уравнений.

(*): A_{m x n} * X n=B m

Теорема Кронекера-Капелли:

Д ля того чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы и системы совпадал с рангом расширенной матрицы системы.

Система совместна и из этого следует:

r ( A_{m x n})= r(A_{m x n} / B m)

Следствие 1: если ранги не равны, то система не совместна

r ( A) r (A|B)

Следствие 2: если ранги совпадают между собой r ( A_{m x n})= r (A_{m x n} |B _m)=n (n-число неизвестных), то решение единственно.

Следствие 3: если ранги совпадают с рангом расширенность, но меньше чем n, то решений бесконечное множество.

r ( A_{m x n})= r (A_{m x n} / B _m)<n

(r – базисный и (n-r)-свободных переменных).

	0
r	0	0.5	0.8	1	1.6	2.1	2.4	2.6	3.1

Схема разрешимости однородных систем линейных уравнений. Исследование столбцов на линейную независимость.

Однородные системы линейных уравнений.

	0
r	0	0.13	0.29	0.5	1	1.5	1.71	1.87	2

Утверждение1: Однородная система всегда совместна (т.к. всегда есть нулевое решение или

Утверждение2: Для системы

Если det , то нулевое решение единственно т.к.

Уверждение3: Если det A=0, то решений бесконечно много.

Однородная система уравнений

Нулевое решение единственное т.к.

Решений бесконечно много (r-базисных и (n-r) свободных переменных

Исследование столбцов на линейную независимость

- линейная однородная система трех уравнений с тремя неизвестными.

Вычисляем определитель матрицы, состоящей из данных столбцов: det A.

Если det A 0, то единственное => решение =>столбцы линейно независимы.

Если det A=0, то система имеет не нулевые решения =>столбцы линейно зависимы.

Декартова система координат на плоскости. Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении

Декартова система координат на плоскости.

Простейшие задачи:

1.Расстояние между точками:

2.Деление отрезков в данном отношении:

1

2.

(По двум углам) ; ; ;

;

;

; .

M является серединой AB, то её координаты

M ;

Линия на плоскости. Составление уравнения кривой на плоскости.

- линия первого порядка (прямая)

-линия второго порядка

Окружность-это геометрическое место точек равноудалённых (на растояние R) от данной точки, называемой центром.

Пусть М(х,у)- произвольная точка кривой

-центр R =R

окружность с центром в точке и радиусом R.

- окружность R=2

- точка геом. объекта

- оси Оу и Ох

у=х или у=-х пара прямых

Полярная система координат на плоскости.Изображения кривых в полярной системе координат.

y

Точка О- полюс

- полярная ось

Связь с декартовыми координатами

- спираль Архимеда

- кардиоида

- лепестковая роза

(1-ый лепесток)

(2-ой лепесток)

	0
r	0	a		3a	a	a	0

Парабола – геометрическое место точек равноудаленных от данной точки (фокус) до данной прямой (директриса).

Пусть M(X;Y) - производная точка искомой кривой

|MF|=|MK| ;

2px-каноническое уравнение параболы; E(эксцентриситет)=1

r=|MF| - фокальный радиус точки M

r=

x= – уравнение директрисы

Пример:

Векторы и операции над ними

Вектор – направленный отрезок.

Модуль вектора - расстояние между его концами.

Если модуль вектора равен 0(1), то он называется нулевым (единичным)

Коллинеарные – векторы лежащие на одной прямой.

Векторы могут быть сонаправлены и противонаправлены.

Теорема 1 – Два ненулевых вектора коллинеарны только тогда, когда они линейно зависимы(пропорциональны)

Теорема 2 – Три вектора называются компланарными , если параллельны одной и той же плоскости или лежат в ней.

Следствие – неколлинеарная пара

Декартова система координат в пространстве. Координаты точки и вектора. Направляющие косинусы. Канонический базис.

Векторное произведение векторов: определение, свойства и вывод формулы в координатах.

если:

, где

Вектор ориентирован в пространстве по правилу буравчика.

Свойства:

- условие коллинеарности векторов.

Вывод формулы

Смешанное произведение векторов: определение, свойства и вывод формул.

Свойства: