Произв. Ф-и в точке:определение, геометрич. И механич. Смысл. Уравнение касательной.
F’(xo)=
Определение: производной ф-и в точке,
наз.предел отношен. приращения ф-и в
приращение аргумента, когда последнее
стремится к нулю.
Обозначения: y’,
f’(x),
,
Если S(t) – закон движения матер. точки
Vср
= 
- средн. скорость т. За время 
V(to)=
- мнгнов. Скорость точки в том времени
to
– механич. смысл производн.
Производн. ф-и хар-ет скорость изменен. ф-и относит. изменен. аргумента. Если T(t) – температура тела в том врем. t, то Т’(t) означ. скорость нагреван.(если Т’>0) или остыв.(если Т<0)
Если Х(t) – кол-во хим. вещ-ва в том времени, то X’(t) хар-ет скорость химич. реакций. Если X(t) – численность популяц. микробов, то X’(t) хар-ет скорость распространен. болезни.
Геометрический
смысл производной: 
,
угловой коэфф. секущей АВ; tg
угловой коэфф. касательной.
Уравнение касательной. y=yo+f’(xo)(x-xo); Если сущ. конечн. произв. ф-и в т. Xo , то ф-я наз. Дифференцируемой в т. Xo
Теорема: ф-я f(x) диф-на в т. Xo , то она непрер. В т. Xo (обратное утверждение, вообще говоря, неверно)
Док-во: Проверим:
Основные правила дифференцирования
1).
Д-во:
2).
Д-во:
3).
Д-во:
4).
Д-во:
4’).
5).
Д-во:
Дифферецирование сложной и обратной функции. Логарифмическое дифференцирование.
1).Производная сложной ф-ии y=f(g(x));
z=g(x) – промежуточный аргумент
f(z) – внешняя ф-я
- производная
сложной ф-ии равна производной внешней
ф-ии на
производную промежуточного аргумента
Д-во:
,т.к.
z=g(x) – дифф.=> непрерывна
=>
2).Производная
обратной ф-ии y=f(x) – дифф. и x=f -1(y) –
обратное тожд. дифф.
Д-во:
,
т.к. x=f -1(y) – дифф. => непрерывна
Логарифмическое дифференцирование
- сложная показательная
осн. лог. тождество
б)
Вывод таблицы производных: тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
1. (sin x)’=cos x
2. (cos x)’= -sin x
3. (tg x)’=
4.
5.
6.
7.
8.
Вывод таблицы производных: логарифмическая, показательная и степенные функции.
логарифмическая
показательная
степенная
Произведение высших порядков, производные функций, заданных неявно и параметрически.
1)Производная высших порядков.
Y ”=(f ’(x))’- Производная второго порядка.
=(
)
Если S(t) закон движения точки, то U(t)=S ’(t) – скорость в момент времени.
U ’(t)=S’’(t)= a(t)- ускорение тела в момент времени.
2)Производная функций заданных неявно
y=f(x)- явно заданная функция.
F(x;y(x))=0 неявно заданная функция Y.
Дифференцируем функцию F(x;y(x)), считая Y сложной функцией.
Выражаем y’ как функцию x и y.
3) Производная функций заданных параметрически.
t- параметр
f(t) и g(t)- дифф. и существует.
я
функция.
Дифференциал функции и его применение . Дифференциалы высших порядков.
Утв-е смешанные производные по одним и тем же перемен-х, отличающейся только порядкам дифференц-я, равны, если они непрерывны.
;
.
Дифференциал:
.
Пример:
Дифференциалы:
Пример:
Теорема Ферма
Теорема Ферма: Если f(x) определена на множестве D и в точке х0 €D принимает наибольшее или наименьшее знач., тогда существует f’(x0), то f’(x0)=0 .
Теорема Роля:
Функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]и
диффер. на множестве(a,b) и f(а)= f(b), тогда
сущ. т. С€(a,b) такая, что .
Т
еорема
Лагранжа: Функция f(x) непрерывна на [a,b]
и диффер на множестве (a,b), тогда т.
С€(a,b), так что – функция Лагранжа
f(b)-f(a)=f’(c)*(b-a).
Необходимое условие монотонности
F(x)-дифференцируемая
функция; если f(x) – возрастает(убывает),
то
Достаточное условие монотонности
если f(x) – возрастает(убывает), то
доказательство – формула Лангранжа
Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции в точке. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
Точка Х0 называется точкой локального минимума (максимума) функции f(x), если f(x0)< f(x)(f(x0)>f(x)) для всех точек Х из данной окрестности в точке Х0.
Общее название – локальный экстремум.
Теорема 3. (необходимое условие существования экстремума)
Если дифферинцируемая функция имеет экстремум в точке Х0, то f ‘(x)=0 (следствие теоремы ферма)
Следует: функция может иметь экстремум в точке, в которой производная равна 0 или не существует, такие точки называются критическими.
Теорема 4. (первое достаточное условие существования экстремума).
f(x) дифферинцируема в точке x0 f ‘(x)=0.
Если при переходе через точку x0 производная изменяет знак, то в точке x0 существует экстремум, а именно max, если с + на – и min, если с – на + .
Теорема 5. (второе достаточное условие существования экстремума).
f(x)-дважды дифферинцируема и f ‘(x)=0.
Если f ‘’(x0)<>0, то в точке x0 существует экстремум, причем min, если f ‘’(x0)>0 и max, если f ‘’(x0)<0.
f ‘’(x0)=lim(f’(x0+∆x)- f ‘(x0))/∆x=lim(f ‘(x)/(x-x0)>0 =>
f ‘(x) >0, если x>x0 и
f ‘(x)<0, если x< x0