- •1. Определение и виды матриц. Транспонированная матрица. Сложение матриц. Умножение матрицы на число. Линейная зависимость и независимость столбцов и строк матрицы. Умножение матриц и его свойства.
- •2. Определители II и III порядков. Определитель матрицы n-ro порядка. Свойства определителей. Алгебраическое дополнение. Вычисление обратной матрицы с помощью определителя.
- •4. Ранги матриц. Теорема Кронекера-Капелли. Однородная система линейных уравнений. Структура общего решения системы линейных уравнений.
- •8. Инвариантные подпространства. Собственные подпространства. Характеристическое уравнение. Свойства характеристическом многочлена. Приведение матрицы преобразования к диагональному виду.
- •9. Определение вектора и операции над ними. Свойства операций над векторами. Линейная зависимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости. Базис.
- •10. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения векторов. Длины векторов и углы между ними. Скалярное произведение векторов в координатной форме. Матрица Грама.
- •12. Уравнения линий и поверхностей. Полярная система координат. Прямая линия на плоскости. Различные виды уравнений. Взаимное расположение прямых.
- •13. Уравнения плоскостей и прямых в пространстве.
- •14. Линии второго порядка. Эллипс. Гипербола. Канонические уравнение. Фокальные расстояния. Эксцентриситеты.
- •15. Парабола. Директриса параболы. Каноническое уравнение. Полярное уравнение кривых второго порядка. Общее свойство кривых второго порядка.
- •18. Конус второго порядка. Параболоид. Однополостной и двуполостной гиперболоиды. Гиперболический параболоид
- •19. Преобразования плоскости. Линейные отображения. Аффинные отображения. Произведение отображений. Аффинные преобразования (операторы). Ортогональные преобразования.
12. Уравнения линий и поверхностей. Полярная система координат. Прямая линия на плоскости. Различные виды уравнений. Взаимное расположение прямых.
Уравнения линий и поверхностей: Это такое равенство, которое можно рассматривать как запись определения линии или поверхности при помощи координат в рассматриваемой системе, например y=f(x)
Полярная система координат: Полярная система координат употребляется на плоскости и она определена, если задана точка О, называемая полюсом и исходящий из нее луч l, который мы назовем полярной осью. Положение точки фиксируется двумя числами: Радиусом r и углом φ между полярной осью и r.
Прямая линия на плоскости: Положение прямой на плоскости определяется параметрическими уравнениями линии на плоскости х=f(t) y=g(t) (1). Где t – параметр, имеющий физический смысл времени, что, однако, не является существенным. Уравнение линии есть лишь высказывание о координатах точек. То есть формулировка такова: существует такое число t , что выполняются равенства (1).
Различные виды уравнений для прямой: 1)Направленный вектор 2)Две точки 3)Прямая y=kx+b 4) L1=A1x+B1y+С1=0
Взаимное расположение прямых: Две прямые задаются уравнениями: L1=A1x+B1y+С1=0 и L2=A2x+B2y+С2=0. Две прямые совпадают, когда A1\ A2= B1\ B2= С1\ С2, параллельны когда A1\ A2= B1\ B2 и не равно С1\ С2, перпендикулярны cosα=0 и A1 A2+ B1 B2=0. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
13. Уравнения плоскостей и прямых в пространстве.
Поверхности и линии первого порядка: Ax+By+Cz+D=0 Уравнение первой степени или линейное уравнение, связывающее координаты точки в пространстве. Теорема1:В общей декартовой системе координат в пространстве каждая плоскость может быть задана линейным уравнением. Теорема2:В общей декартовой системе координат на плоскости каждая прямая линия может быть задана линейным уравнением. Векторное параметрическое уравнение: r-r0=ta
Параметрические уравнения плоскости:
Параметрические уравнения прямой на плоскости и в пространстве:
Векторное параметрическое уравнение плоскости:
Векторное уравнение плоскости:
14. Линии второго порядка. Эллипс. Гипербола. Канонические уравнение. Фокальные расстояния. Эксцентриситеты.
Линии второго порядка: Уравнение линии второго порядка Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0. Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением называется эллипсом, а уравнение каноническим. - мнимый эллипс. - две мнимые пересекающиеся прямые. - гипербола и её канонической уравнение. - парабола. - пара параллельных прямых. - пара мнимых параллельных прямых.
Эллипс: Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением называется эллипсом, а уравнение каноническим.
Оси координат канонической системы – оси симметрии эллипса, а центр – центр симметрии. С2=a2-b2, Два фокуса F1(c,0) и F2(-c,o). Экцентриситет e=c\a. Расстояние от произвольной точки M(x,y), лежащей на эллипсе до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абциссы х : Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялось большой оси эллипса 2а.
Гипербола: Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением называется эллипсом, а уравнение каноническим.
Оси координат канонической системы – оси симметрии гиперболы, а центр – центр симметрии. Прямые с уравнениями y=bx\a и y=-bx\a в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы. Экцентриситет e=c\a. C2=a2+b2 Два фокуса F1(c,0) и F2(-c,o). Для того чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность ее расстояний до фокусов по абсолютной величине равнялась вещественной оси гиперболы. Касательная к гиперболе есть биссектриса угла между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.