15. Парабола. Директриса параболы. Каноническое уравнение. Полярное уравнение кривых второго порядка. Общее свойство кривых второго порядка.

Парабола: Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением y²=2px называется параболой, а уравнение каноническим. Фокус – (p\2,0), директриса –прямая x=-p\2.

Р асстояние от произвольной точки параболы до фокуса равно r=x+p\2. Для того чтобы точка M лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директрисы этой параболы. Полярное уравнение кривых второго порядка: Переход к полярной системе осуществляется с помощью формул r=корень второй степени из x²+y² φ=arctg(y\x), а обратный формулами x=rcosφ y=rsinφ.

16. Общее уравнение кривой второго порядка. Пересечение с прямой. Асимптотические направление. Классификация уравнений второго порядка по их числу.

Общее уравнение кривой второго порядка: Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0

Пересечение с прямой:

Асимптотические направление: Направление, определяемое вектором, компоненты которого удовлетворяют уравнению Aα²+2Bαβ+Cβ² называется асимптотическим направлением линии второго порядка.

Классификация уравнений второго порядка по их числу:

17. Поверхности второго порядка. Поверхности вращения. Общее уравнение поверхности вращения. Эллипсоид вращения. Эллипсоид.

Поверхности второго порядка: ы

Поверхности вращения: Поверхность S называется поверхностью вращения с осью d, если она составлена из окружностей, которые имеют центра на прямой d и лежат в плоскостях, перпендикулярных этой прямой.

Общее уравнение поверхности вращения :

Эллипсоид вращения: Направив вектор e₁ сначала вдоль малой оси эллипса, а затем вдоль большой, мы получим уравнение эллипса в следующих видах:

Эллипсоид: Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение , назовем эллипсоидом. Причем если b=c, то мы получим эллипсоид вращения.

18. Конус второго порядка. Параболоид. Однополостной и двуполостной гиперболоиды. Гиперболический параболоид

. К онус второго порядка: Поверхность на рисунке , получаемая вращением линии a²x²-c²z²=0 вокруг оси аппликат, имеет уравнение a³(x²+y²)-c²z³=0 и носит название прямого кругового конуса. Сжатие к плоскости Y переводит прямой конус в поверхность с уравнением a²x²+b²y²-c²z²=0. Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет это уравнение, называется конусом второго порядка.

Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка. Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (т.е. не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.

Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:

z = ax2 + by2,

если a и b одного знака, то параболоид называется эллиптическим.

если a и b разного знака, то параболоид называется гиперболическим.

если одно a либо b равно нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром.

Однополостной и двуполостной гиперболоиды: Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение называется однополосным гиперболоидом.

Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение называется двуполосным гиперболоидом

Гиперболический параболоид: Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение называется гиперболическим параболоидом.