Геометрическое изображение комплексных чисел
Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой М(х;у) плоскости ОXY такой, что х=Rez, у=Imz. И, наоборот, каждую точку М(х;у) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=х+iy (см. рис. 161).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа z=х+0i=х. Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные числа z=0+iy.
К
омплексное
число z=х+iy
можно задавать с помощью радиус-вектора
r=ОМ=(х;у). Длина вектора r, изображающего
комплексное число z, называется модулем
этого числа и обозначается |z| или r.
Величина угла между положительным
направлением действительной оси и
вектором
r, изображающим комплексное число,
называется аргументом этого комплексного
числа, обозначается Argz или φ.
Аргумент комплексного числа z=0 не определен. Аргумент комплексного числа z≠0 — величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πk (k=0,-1,1,-2,2...): Argz = argz + 2πk, где argz — главное значение аргумента, заключенное в промежутке (—π;π], т. е. —π<argz≤π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2π)).
Формы записи комплексных чисел
З
апись
числа z в виде z=х+iy
называют алгебраической формой
комплексного числа. Модуль r и аргумент
φ комплексного числа можно рассматривать
как полярные координаты вектора r=ОМ,
изображающего комплексное числоz=х+iy
(см. рис. 162). Тогда получаем х=rcosφ, у=rsinφ.
Следовательно, комплексное число z=х+iy
можно записать в виде z=rcosφ+irsinφ или
z=r(cosφ+isinφ).
Такая
запись комплексного числа называется
тригонометрической формой. Модуль r=|z|
однозначно определяется по формуле
Например,
|i|=Ö(02+12)=1.
Аргумент φ определяется из ф
ормул
Так как φ=Argz=argz+2kπ, то cosφ=cos(argz+2kπ)=cos(argz), sinφ=sin(argz). Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента комплексного числа z, т. е. считать φ=argz.
Так как -π<argz≤ π, то из формулы tgφ=у/х получаем,что
Если точка z лежит на действительной или мнимой оси, то argz можно найти непосредственно (см. рис. 163). Например, argz1=0 для z1=2; argz2=π
для z2=-3; arg z3=p/2 для z3=i и arg z4=-p/2 для z4=-8i.
Используя формулу Эйлера
еiφ=cosφ+isinφ, комплексное число z=r(cosφ+isiπφ) можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме z=rеiφ, где r=|z| — модуль комплексного числа, а угол φ=Argz=argz+2kp (k=0,-1,1,-2,2...).
В силу формулы Эйлера, функция еiφ периодическая с основным периодом 2p. Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т. е. считать φ=argz.
№14. Комплексные числа. Действия над комплексными числами.
Ч
исла
вида a + bi, где a и b – действительные
числа, i – мнимая единица, называются
комплексными. Число a будем назвать
действительной частью комплексного
числа, bi – мнимой частью комплексного
числа, b – коэффициентом при мнимой
части. Запись комплексного числа в виде
a + bi называется алгебраической формой
комплексного числа. Аргумент комплексного
числа – угол между r
(в) и положительным направлением ОХ.
φ=argz
– главное значение аргумента. cosφ=a/r,
sinφ=b/r.
Сложение, вычитание, умножение комплексных
чисел в алгебраической форме производят
по правилам соответствующих действий
над многочленами. Только учитывают, что
i(c.2)=
-1, привести примеры. Модулем комплексного
числа z = a + bi называется длина вектора
, которую можно найти по формуле
|z|=√a(c.2)+b(c.2)`.
Обозначается буквой r
(в). Если в запись комплексного числа z
вместо a
и b
подставить другие значения, то получим
z=a+ib=r
cosφ
+ir
sinφ
= r
(cosφ
+ i
sinφ).
Это тригонометрическая форма записи
комплексного числа. Показательная форма
записи: z=|a|e(c.iφ);
Что перейти используем формулу Эйлера:
cosφ+isinφ=e(c.iφ).
№15. Линейные диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
В математической экономике большое применение находят линейные дифференциальные уравнения, и поэтому мы рассмотрим решение таких уравнений. Дифференциальное уравнение (9.1) называется линейным, если имеет вид: рo(x)y(n)(x) + р1(x)y(n- 1)(x) +... + рn - 1(x)y(x) + рn(x)y(x) = f(x), (9.2)
где рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) - данные функции. Если f(x) 0, то уравнение (9.2) называется однородным, в противном случае - неоднородным. Общее решение уравнения (9.2) есть сумма какого-либо его частного решения y(x) и общего решения соответствующего однородного уравнения:
рo(x)y(n)(x) + р1(x)y(n- 1)(x) +... + рn - 1(x)y(x) + рn(x)y(x) = 0. (9.3)
Если коэффициенты рo(x), р1(x),..., рn(x) постоянные, то уравнение (9.2) принимает вид:
рoy(n)(x) + р1y(n- 1)(x) +... + рn - 1y(x) + рny(x) = f(x) (9.4) и называется линейным дифференциальным уравнением порядка n с постоянными коэффициентами.
Соответствующее уравнению (9.4) однородное уравнение выглядит так:
рoy(n)(x) + р1y(n- 1)(x) +... + рn - 1y(x) + рny(x) = 0. (9.5)
Без ограничения общности можно положить рo = 1 и записать уравнение (9.5) в виде
y(n)(x) + р1y(n- 1)(x) +... + рn - 1y(x) + рny(x) = 0. (9.6)
Решение уравнения (9.6) будем искать в виде y = e kx, где k - постоянная. Имеем: y = ke kx, y = k2 e kx,..., y(n) = kn e kx. Подставляя полученные выражения в (9.6), будем иметь:
e kx (kn + р1kn-1 +... + рn-1k + рn) = 0.
Т.к. e kx 0, то kn + р1kn-1 +... + рn-1k + рn = 0. (9.7)
Равенство
(9.7) есть алгебраическое уравнение с
неизвестным k.
Оно называется характеристическим
уравнением для дифференциального
уравнения (9.6).
Характеристическое уравнение есть
уравнение n-й
степени, следовательно, оно имеет n
корней, среди которых могут быть кратные
и комплексные. Если k1,
k2,...,
kn
- действительные и различные корни
уравнения (9.7), то
-
частные решения уравнения (9.7), а общее
имеет вид y =
.
Рассмотрим подробно линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: y + рy +qy = 0. (9.8)
Его характеристическое уравнение имеет вид k2 + рk + q=0 (9.9) и в зависимости от значения дискриминанта D = р2 - 4q возможны три случая.
1. Если D>0, то корни k1 и k2 уравнения (9.9) действительны и различны, тогда общее решение имеет вид: y = c1 exр(k1x) + c2 exр(k2x).
2. Если D = 0, т.е. корни k1 и k2 действительные и равные, то общее решение находится по формуле:
y = (c1 + c2x) exр (k1x).
3. Если D<0, то корни комплексные, k1 = + i, k2 = - i, где i - мнимая единица. Тогда общее решение таково: y = (c1 cos x+c2 sin x) exр (x).
№16. Нахождение оригиналов для изображений с помощью вычетов.
Оригинал f(t) можно найти по формуле обращения, вычисляя интеграл: f(t) =1/(2i)(от a-i до a+i)F(p)eptdp вдоль вертикальной прямой Rep=a в полуплоскости Rep, где F(p) аналитична ( - показатель роста оригинала). В частности, можно док-ть, что если в остальной части плоскости имеется только конечное число изолированных особых точек р1,...,pn и выполняется условие lim (при р)F(p)=0, то f(t) =1/(2i)(от a- до a+)F(p)eptdp =(от k=1 до n)Res F(p)ept. (1)
В случае, когда F(p) - рациональная функция (частное многочленов), являющаяся правильной дробью F(p)=A(p)/B(p), то она имеет на всей плоскости только конечное число полюсов (если дробь несократима, то полюсами явл-ся нули знаменателя, а их - конечное число: столько, какова степень знаменателя). Кроме того, условие lim (при p)F(p)=0 выполняется, т.к. степень знаменателя больше. Значит, для такой дроби формула (1) верна: f(t) =(от k=1 до n)Res A(p)/B(p)ept
Пример 1: F(p)=p/(p2-1)2 - правильная дробь, p1=-1, p2=1 - полюсы второго порядка.
f(t) =Res(в точке р=-1)pept/(p2-1)2 + Res(в точке р=1)pept/(p2-1)2 =1/1!lim(при р-1)(pept/(p2-1)2(p+1)2)`p + + 1/1!lim(при р1)(pept/(p2-1)2(p-1)2)`p =1/2tsht.
Оригинал правильной дроби можно найти также, разложив ее на простейшие дроби (методом неопределенных коэффициентов), пользуясь таблицей изображений и линейностью изображений.
Пример 2: F(p) =(3p2+3p+2)/((p-2)(p2+4p+8)) =A/(p-2) + (Mp+N)/(p2+4p+8) =1/(p-2) + (2p+3)/(p2+4p+8); 1/(p-2) e2t;
(2p+3)/(p2+4p+8) =(2p+3)/((p+2)2+22) =(2(p+2)-1)/((p+2)2+22) =2(p+2)/((p+2)2+22) - 1/22/((p+2)2+22) 2cos2te-2t - 1/2e-2tsin2t; (3p2+3p+2)/((p-2)(p2+4p+8)) e2t + e-2t(2cos2t-1/2sin2t).
№17. Необходимое условие сходимости ряда. Критерий Коши (необходимое и достаточное условие сходимости ряда).
Необходимое
условие сходимости ряда (критерий Коши).
Для сходимости ряда (1) необходимо и
достаточно, чтобы для любого
существовало число
такое, что при
и
(n
и p
– натуральные числа) было выполнено
неравенство
.
В частности, если ряд сходится, то
.
Теорема
4: Если ряд
сходится, то его общий член стремиться
к нулю, т.е.
.
Доказательство.
По условию ряд
сходится. Обозначим через S
его сумму. Рассмотрим частные суммы
ряда
и
.
Отсюда
. Т.к.
и
при
,
то
.
Условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда.
Достаточные условия сходимости рядов. Признак сравнения 1.
Теорема 5: Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена. Доказательство.
Необходимость. Пусть ряд сходится. Это значит, что последовательность его частичных сумм имеет предел. Всякая сходящая последовательность является ограниченной.
Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм ряда ограничена. Т.к. ряд
с
неотрицательными членами, то его
частичные суммы образуют не убывающую
последовательность:
.
Монотонная ограниченная последовательность
сходится, т.е. сходится ряд
Признак сравнения 2.
Теорема
6:
Пусть
даны два ряда с неотрицательными членами
и
и
для всех n выполняется неравенство
.
Тогда из сходимости ряда
следует
сходимость ряда
,
а из сходимости ряда
следует
сходимость ряда
.
Доказательство. Обозначим через
и
соответственно частичные суммы рядов
и
.
Из неравенства
следует, что
(7) Если ряд
сходится, то по теореме 5 (необходимость)
последовательность его частичных сумм
ограничена, т.е. для любого n
,
где М
– некоторое число. Но тогда по формуле
(7) и
,
откуда по той же теореме 5 (достаточность)
следует, что ряд
сходится. Если же ряд
расходится, то ряд
также расходится, т.к., допустив сходимость
ряда
получим по только что доказанному
сходимость ряда
,
а это противоречит условию теоремы.
№18. Нули аналитической функции. Ряд Тейлора и ряд Лорана.
Определение. Точка а называется нулём порядка k аналитической функции f(z), если f(a) = f ′(a) = f ″(a) = ... = f (k−1)(a) = 0, но f (k)(a) ≠ 0.
Пример.
Пусть
.
Точка a
= 0 - нуль этой функции, так как f(0)
= 0. Найдём порядок нуля:
f
″(z)
= − sin z
+ z,
f
″(0)= 0, f
( 3 )(z)
= − cos z
+ 1, f
( 3 )(0) = 0, f
( 4 )(z)
= sin z,
f
( 4 )(0) = 0, f
( 5 )(z)
= cos z,
f
( 5 )(0) = 1 ≠
0,. Первая отличная от нуля производная
функции в точке a
= 0 - пятая, поэтому эта точка - нуль пятого
порядка функции
.
Теорема. Для того, чтобы аналитическая в точке а функция f(z) имела в этой точке нуль k -го порядка, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этой точки функция f(z) представлялась в виде f( z) = (z − a) k·φ(z), где φ(z) - аналитическая в точке а функция, и φ(a) ≠ 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть точка а - нуль k-го порядка функции f(z), т.е. f(a) = f ′(a) = f ″(a) = ... = f (k−1)(a) = 0, и f (k)(a) ≠ 0. Тогда её разложение в ряд Тейлора имеет вид
,
где
-
аналитическая (как сумма степенного
ряда с тем же кругом сходимости, что и
у ряда для f(z))
функция,
.
Достаточность. Пусть f( z) = (z − a) k·φ(z), где φ(z) - аналитическая в точке а функция, и φ(a) ≠ 0. Находим производные этой функции по формуле Лейбница ( uv ) (n) = u (n) v + n u (n - 1) v ′ + Cn2 u (n - 2 ) v ″ + Cn3 u (n - 3 ) v(3 ) + … + Cn2 u ″ v (n - 2) + n u ′ v (n - 1 ) + u v (n ): f ′(z) = k(z − a)k - 1 φ(z) + (z − a)k φ ′(z), f ′(a) = 0; f ″(z) = k (k − 1)(z − a)(k - 2) φ(z) + 2k (z − a)(k - 1) φ′(z) + (z − a)(k) φ″(z), f ″(a) = 0; …………… ………………………….; f ( k -1 )(z) = k·( k -1 )·…2·(z − a) φ(z) + C1k-1k·( k -1 )·…3·(z − a)2 φ ′(z) + … + (z − a) k φ(k -1)(z), f ( k -1 )(a) = 0; f ( k)(z) = k·( k -1 )·…2·1·φ(z) + C1k k·( k -1 )·…2·(z − a) φ ′(z) + … + (z − a) k φ(k)(z), f ( k)(a) = k!·φ(a) ≠ 0, что и требовалось доказать.
Из этой теоремы следует, что если многочлен P n(z) = a0 z n + a1 z n - 1 + a2 z n - 2 + … + a n - 1 z = 0 разложен на множители P n(z) = a0 (z − z1) k1 (z − z2) k2 … (z − zl) kl , то корни z1, z2, …, zl являются нулями функции P n(z) кратностей, соответственно, k1, k2, …, kl.
Ряд
Тейлора. Пусть
функция w
= f(z)
аналитична в области D,
z0∈
D.
Обозначим L
окружность с центром в z0,
принадлежащую области D
вместе с ограниченным ею кругом. Тогда
для любой точки z,
лежащей внутри L,
.
Представим множитель
в
виде суммы сходящейся геометрической
прогрессии:
(так как |z
– z0|
< | t
– z0|,
то
)
,
и ряд сходится абсолютно, поэтому его
можно почленно интегрировать:
,
так как
.
Итак,
.
Ряд в
правой части этого равенства - ряд
Тейлора функции f(z).
Этот ряд абсолютно сходится внутри
контура L,
а в качестве L
можно взять любую окружность, которая
не выходит за пределы области D.
Доказана
Теорема
о разложении функции в ряд Тейлора.
Если функция w
= f(z)
аналитична в области D,
z0
∈
D,
то функция f(z)может
быть разложена в ряд Тейлора по степеням
(z
– z0)n.
Этот ряд абсолютно сходится к f(z)
внутри круга |
z – z0|
< r,
где r
- расстояние от z0
до границы области D
(до ближайшей к z0
точке, в которой функция теряет
аналитичность). Это разложение единственно.
Единственность разложения следует
из того, что коэффициенты ряда однозначно
выражаются через производные функции.
19.8.1.1.
Стандартные разложения. Для
однозначных функций разложения в ряд
Тейлора в принципе не могут отличиться
от изучавшихся в прошлом семестре
разложений:
1.
2.
3.
4.
5.
Все
эти ряды сходятся к своим функциям на
всей плоскости (при ∀
z
∈
C).
Для геометрических прогрессий имеют
место формулы
7.
8.
.
То, что
эти ряды сходятся при |
z| < 1,
понятно. Ближайшие к центру разложения
z0
= 0 точки, в которых функции теряют
аналитичность (граница области D)
- это точки z
= ±1, в которых соответствующие функции
неопределены.
9.
.
В
действительном случае вообще было
непонятно, почему этот ряд перестаёт
сходиться к f(x)
при | x |
≥ 1, ведь f(x)
определена на всей действительной
прямой. В комплексном случае это
проясняется - на окружности |
z | = 1
расположены точки z
= ± i,
в которых f(z)
не определена.
При
разложении многозначных функций
необходимо выделить однозначную ветвь.
Обычно задают значение функции в одной
точке. Рассмотрим, например, разложение
функции ln(z
+ 1). Ln 1 = ln 1 + i
arg 1 = 2k
π i,
k -
целое. Возьмём ту ветвь логарифма, для
которой Ln 1 = 0 ( k
= 0), т.е. главное значение логарифма f(z)
= ln (z
+ 1). На этой ветви
,
поэтому
,
и
10.
Точка,
в которой функция теряет аналитичность
(она в этой точке вообще не определена)
- это z
= -1, поэтому ряд сходится при |z|
< 1.
Теперь
рассмотрим биномиальный ряд для функции
f(
z)
= (1 + z)
α. Это (при
любом комплексном α) общая степенная
функция, поэтому f(
z)
= (1 + z)
α = z
α ln(1 + z)
(однозначная ветвь выделена тем, что
взято главное значение логарифма);
дальше находим производные:
аналогично
f
″(0) = α(α
− 1); и т.д.; f
(n)(0)
= α(α
− 1)…(α
− n
+ 1), поэтому
11.
.
19.8.1.2.
Решение задач
на разложение функций в ряд. Техника
решения этих задач ничем не отличается
от действительного случая (см. раздел
18.2.6.2).
Рассмотрим, например, задачу 6 из этого
раздела: разложить функцию
по
степеням z
- 7. Так как степень знаменателя равна
двум, сначала разложим в ряд функцию
,
затем почленно продифференцируем его:
.
Круг сходимости
.
На границе круга сходимости ряд из
модулей расходится, и общий член не
стремится к нулю, поэтому в каждой точке
окружности
ряд
расходится. Далее,
.
Все выводы о круге сходимости и поведении
ряда на его границе остаются справедливыми.
19.8.2.
Ряд Лорана.
Пусть функция f(z)
аналитична в кольце ρ ≤ |z
− z0|
≤ R.
Тогда для любой точки этого кольца
;
при этом окружности проходятся так, что
область остаётся слева (следствие 3
раздела 19.7.2.
Интегральная формула Коши).
Изменим в интеграле по внутренней
окружности направление обхода на
противоположное:
.
Интеграл по внешней окружности преобразуем
так, как и при выводе формулы Тейлора:
(так
как | z
– z0|
< | t
– z0|
, то
)
,
и ряд сходится абсолютно, поэтому его
можно почленно интегрировать:
,
где
.
Интеграл по внутренней окружности
преобразуем аналогично, учитывая только,
что на Lρ
| t
– z0|
< | z
– z0|
:
.
И здесь ряд сходится абсолютно, поэтому
его можно почленно интегрировать:
,
где
.
Переобозначим n
→ −n,
тогда форма коэффициентов ряда для Lρ
совпадёт с формой коэффициентов ряда
для LR:
поэтому
окончательно для интеграла по Lρ
получим
.
Докажем, что и контур для вычисления
коэффициентов может быть взят один и
тот же. Действительно, пусть Γ -
кусочно-гладкий контур, расположенный
в кольце ρ ≤ |z
− z0|
≤ R,
и точка z0
расположена внутри этого контура. По
теореме Коши для многосвязной области
;
,
поэтому для любого n
,
и
.
Этот ряд
(содержащий и положительные, и отрицательные
степени (z
– z0),
называется рядом Лорана функции f(z).
Его часть, содержащая неотрицательные
степени (
),
называется правильной; часть, содержащая
отрицательные степени (
),
называется главной. Правильная часть,
по самому своему построению, сходится
в круге | z
– z0|
≤ R,
главная - во внешности круга |
z – z0|
≥ ρ, поэтому весь ряд сходится в
пересечении этих областей, т.е. в кольце
ρ ≤ | z
– z0|
≤ R.
Так же, как и для ряда Тейлора, разложение
в ряд Лорана единственно.
№19. О постановке задачи математической физики. Краевые и начальные условия и их физический смысл.
В теории дифференциальных уравнений, начальные и граничные условия — дополнение к основному дифференциальному уравнению (обыкновенному или в частных производных), задающее его поведение в начальный момент времени или на границе рассматриваемой области соответственно.
Обычно дифференциальное уравнение имеет не одно решение, а целое их семейство. Начальные и граничные условия позволяют выбрать из него одно, соответствующее реальному физическому процессу или явлению. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказана теорема существования и единственности решения задачи с начальным условием (т. н. задачи Коши). Для уравнений в частных производных получены некоторые теоремы существования и единственности решений для определенных классов начальных и краевых задач.
Иногда к граничным относят и начальные условия в нестационарных задачах, таких как решение гиперболических или параболических уравнений.
Для
стационарных задач существует разделение
граничных условий на главные
и естественные.
Главные условия обычно имеют вид
,
где
—
граница области Ω.
Естественные условия содержат также и
производную решения по нормали
к границе.
Задачи математической физики описывают реальные физические процессы, а потому их постановка должна удовлетворять следующим естественным требованиям:
Решение должно существовать в каком-либо классе функций;
Решение должно быть единственным в каком-либо классе функций;
Решение должно непрерывно зависеть от данных (начальных и граничных условий, свободного члена, коэффициентов и т.д.).
Требование непрерывной зависимости решения обусловливается тем обстоятельством, что физические данные, как правило, определяются из эксперимента приближенно, и поэтому нужно быть уверенным в том, что решение задачи в рамках выбранной математической модели не будет существенно зависеть от погрешности измерений. Математически это требование можно записать, например, так (для независимости от свободного члена):
Пусть
задано два дифференциальных уравнения:
с
одинаковыми дифференциальными операторами
и одинаковыми граничными условиями,
тогда их решения будут непрерывно
зависеть от свободного члена, если:
решения
соответствующих уравнений.
Множество функций, для которых выполняются перечисленные требования, называется классом корректности. Некорректную постановку граничных условий хорошо иллюстрирует пример Адамара.
№20. Обратное преобразование Лапласа. Разложение оригинала в сумму.
Преобразова́ние
Лапла́са —
интегральное преобразование, связывающее
функцию
комплексного
переменного (изображение)
с функцией
действительного
переменного (оригинал).
С его помощью исследуются свойства
динамических
систем
и решаются дифференциальные
и интегральные
уравнения.
Обратное преобразование Лапласа
Обратным
преобразованием Лапласа функции
комплексного переменного
,
называется функция
действительного
переменного, такая что:
где
—
некоторое вещественное число (см. условия
существования).
Правая часть этого выражения называется
интегралом Бромвича.
На практике приходится искать оригинал, изображение которого представляет собой правильную рациональную дробь.
Известно,
что такую дробь можно представить в
виде суммы простейших дробей четырёх
видов:
где
корни знаменателя комплексные, то есть
дискриминант квадратного трёхчлена,
стоящего в знаменателе дроби, отрицателен;
корни
знаменателя комплексные.
Мы
рассмотрим лишь дроби трёх первых видов.
Для дроби 1-го вида имеем
для
дроби 2-го вида на основании формулы
(12) таблицы изображений и оригиналов
получим:
№21. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов. Абсолют. и условная сходимость рядов.
Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда или признак абсолютной сходимости
Пусть
u1+u2+…+un+…=
(20)
знакопеременный ряд и пусть сходится
ряд, составленный из абсолютных величин
его членов │u1│+│
u2│+…+│
un
│+…=
│
un
│. (21)
Тогда
ряд (20) тоже сходится. Доказательство.
Рассмотрим вспомогательный ряд
(u1+│u1│)+(u2+│u2│)+…+(un+│un│)+…=
(un+│un│). (22)
Очевидно, 0≤ un+│un│≤2│un│ при всех n=1, 2, … . Ряд (21) сходится по условию, поэтому сходится ряд 2│un│, тогда по признаку сравнения сходится ряд (22). Ряд (20) представляет собой разность двух сходящихся рядов (22) и (21), поэтому он тоже сходится. Теорема доказана.
Замечание.
Обратное
утверждение неверно. Если данный ряд
сходится, то ряд, составленный из
абсолютных величин его членов, может и
расходиться. Например,
ряд
сходится по признаку Лейбница, а ряд
расходится (это гармонический ряд).
Пусть дан ряд: u1+u2…+un= (1), где un – может быть как >0, так и <0. Рассмотрим ряд состоящий из абсолютных значений этого ряда: |u1|+|u2|…+|un|= (2), Если сх-ся ряд (2), то ряд (1) называют абсолютно сх-ся, а если ряд (1) сх-ся, а ряд (2) расх-ся. то ряд (1) наз сх-ся условно.
Т. Признак абсолютной >=0: Если знакочередующийся ряд сх-ся условно. то он и просто так сх-ся, при этом: <= Док-ва:т. к. 0<=|un|+un <=2|un|, то по признаку ср-ния сх-ся ряд |un|+un, тогда сх-ся ряд: (|un|+un)-un|=un. Далее, т. к. по св-ву абсолютной величины |Sn|=|u1+u2+…+un|<=|un| n N, то переходя к пределу получим: <=
Т2 Если ряд (1) абсолютно сх-ся, то и любой ряд составленный из тех же членов, но в любом другом порядке тоже абсолютно сх-ся и его сумма равна сумме ряда un – Sn.
Т(Римана): Если знакопеременный ряд с действительными членами сх-ся условно, то каким бы ни было дейст. число S можно так переставить члены ряда, что его сумма станет равна S, т. е. сумма неабсолютно сходящегося ряда зависит от порядка слагаемых
№22. Определение производной функции комплексного переменного. Функция аналитическая в области. Условие Коши-Римана. Формулы для производной.
Определение
производной. Аналитичность ФКП. Пусть
w
= f(z)
определена, однозначна и принимает
собственные значения в окрестности
точки z
= x
+ iy
∈
C.
Производной функции w
= f(z)
в точке z
называется предел
.
Функция, имеющая конечную производную
в точке z,
называется дифференцируемой в этой
точке.
В этом определении важно, что стремление Δz → 0 может проходить по любому пути. Как мы увидим дальше, вследствие этого обстоятельства существование производной f’(z) не сводится к существованию частных производных функций u(x, y) и v(x, y), а требует некоторых дополнительных условий. Сейчас мы дадим определение основного в теории ФКП понятия - аналитичности функции в точке и в области.
Определение. Однозначная функция называется аналитической (регулярной, голоморфной) в точке z, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки. Однозначная функция называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области.
Примеры.
1.
f(z)
= z
2. В этом
случае f (z
+ Δz)
= (z
+ Δz)2
= z
2 + 2 z·Δz
+ (Δz)
2;
.
Таким образом, эта функция дифференцируема
в любой точке, и её производная равна
2z.
2.
f(z)
= | z
|2
= x2
+ y2.
Докажем, что эта функция не имеет
производной ни в какой точке z
≠ 0. Будем стремить Δz
→ 0 по двум путям: по прямой, параллельной
действительной оси Ох
(в этом случае Δz
= Δx),
и по прямой, параллельной мнимой оси Оу
(в этом случае Δz
= i
Δy).
В первом случае
,
во втором
.
Эти пределы равны, только если 2х
= −2iy
⇒
х
= y
= 0. Таким образом, функция f(z)
= | z
|2
= x2
+ y2
может быть дифференцируема в единственной
точке z
= 0, во всех остальных точках пределы
различны
в зависимости от способа стремления Δz
→ 0, т.е.
не
существует.
Условия
Коши-Римана (Даламбера-Эйлера).Сейчас
мы сформулируем и докажем важнейшую в
теории ФКП теорему о необходимых и
достаточных условиях дифференцируемости
(а, следовательно, аналитичности) функции.
Для
того, чтобы функция w
= f(z)
= u(x,
y)
+ i
v(x,
y)
была дифференцируема в точке z
= x
+ iy,
необходимо и достаточно, чтобы функции
u(x,
y)
= Re f(z)
и v(x,
y)
= Im f(z)
были дифференцируемы в точке (х,у),
и чтобы в этой точке выполнялись
соотношения
.
Доказательство.
Необходимость.
Здесь мы применим идею, которой
воспользовались, когда доказывали, что
функция f(z)
= | z
|2
= x2
+ y2
не имеет производных в точках z
≠ 0: подойдём к точке z
двумя путями - по направлениям Δz
= Δх
(Δy
= 0) и Δz
= iΔy
(Δx
= 0).
В первом
случае: Δw
= (u(x
+ Δx,
y)
+ iv(x
+ Δx,
y))
− (u(x,
y)
+ iv(x,
y))
=
= (u(x
+ Δx,
y)
− u(x,
y))
+ i(v(x
+ Δx,
y)
− v(x,
y))
= Δxu
+ iΔxv;
.
Во втором
случае: (напомню, что
)
Δw
= (u(x,
y
+ Δy)
+ iv(x,
y
+ Δy))
− (u(x,
y)
+ iv(x,
y))
=
= (u(x,
y
+ Δy)
− u(x,
y))
+ i(v(x,
y
+ Δy)
− v(x,
y))
= Δyu
+ iΔyv;
.
Пределы должны быть равны, поэтому
.
Достаточность.
По предположению теоремы, функции u(x,
y),
v(x,
y)
дифференцируемы в точке (х,у),
поэтому
где
α(Δx,
Δy),
β(Δx,
Δy)
- бесконечно малые более высокого порядка
по сравнению с
,
т.е.
,
.
Найдём
.
.
Последнее
слагаемое - бесконечно малая высшего
порядка по сравнению с Δz
= Δx
+ iΔy:
;
далее, в предыдущих слагаемых, пользуясь
формулами Коши-Римана, оставим только
частные производные по х,
т.е. заменим
на
,
на
;
тогда
.
Отсюда следует, что существует
,
т.е. функция дифференцируема в точке
(х,у).
Производная
дифференцируемой функции может находиться
по любой из формул
,
эти равенства следуют из условий
Коши-Римана. При вычислении производных
можно пользоваться всеми правилами
действительного анализа:
(в
точках, где g(z)
≠ 0.
Примеры вычисления производных.
1.
Выше мы доказали, что функция f(z)
= z2имеет
производную, равную 2z,
в каждой точке. Проверим, что для этой
функции выполняются условия Коши-Римана.
Так как w
= z2
= (x
+ iy)2
= x2
- y2
+ 2 ixy,
то
.
Тогда
.
2. Для
функции w
= e z
мы получили u(x,
y)
= e z
cos y,
v(x,
y)
= e z
sin y.
Поэтому
,
т.е. функция дифференцируема.
.
№23. Операционный метод решения линейных ДУ и их систем.
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно решать операционным методом по той же схеме, что и решение одного дифференциального уравнения. Вместо одного операторного уравнения получим линейную систему алгебраических уравнений.
Пусть, например, нужно решить систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами
при
начальных условиях Коши
в предположении, что функции fk(t),
(k=1,
2, ¼ , n)
являются оригиналами (тогда и функции
yk(t)
– оригиналы). На практике часто
рассматривается случай, когда fk(t)
– линейные комбинации функций вида
tmel
t.
Пусть
,
.
Тогда
изображающая исходную систему операторная
система имеет вид:
Решая последнюю систему как линейную алгебраическую систему уравнений относительно Yk(p), найдем Yk(p), а затем их оригиналы уk(t) (k=1, 2, ¼ , n), которые и будут решениями задачи Коши для системы (1).
Задача Коши для систем уравнений порядка выше первого решается аналогично. Кроме того, такую систему всегда можно заменить эквивалентной ей системой уравнений первого порядка, вводя новую систему искомых функций.
№24. Основные определения и понятия о диф. уравнениях с частными производными.
Дифференциальное уравнение в частных производных (общеупотребительно сокращение (Д)УЧП, также известны как уравнения математической физики, УМФ) — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.
Рассмотрим
сравнительно простое уравнение в частных
производных:
Из
этого соотношения следует,
что значение функции u(x,y)
не зависит от x.
Следовательно, общее решение уравнения
следующее:
где f —
произвольная функция переменной y.
Аналогичное обыкновенное
дифференциальное уравнение
имеет вид:
и его решение
где c —
произвольная константа
(независимая от x).
Эти два примера показывают, что общее
решение обыкновенного дифференциального
уравнения содержит неизвестные константы,
но общее решение дифференциального
уравнения в частных производных содержит
произвольные функции. Решение
дифференциального уравнения в частных
производных, вообще говоря, не единственно.
В общем случае на границе рассматриваемой
области задаются дополнительные условия.
Например, решение выше рассмотренного
уравнения (функция f(y))
определяется единственным образом,
если u
определена на линии x
= 0.
Размерность. Равна количеству независимых переменных. Должна быть не меньше 2 (при 1 получается обыкновенное дифференциальное уравнение).
Линейность. Есть линейные и нелинейные уравнения. Линейное уравнение представимо в виде линейной комбинации производных от неизвестных функций. Коэффициенты при этом могут быть либо постоянными, либо известными функциями. Линейные уравнения хорошо исследованы, за решение отдельных видов нелинейных уравнений назначены миллионные премии (задачи тысячелетия).
Однородность. Уравнение является неоднородным, если есть слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.
Порядок. Порядок уравнения определяется максимальным порядком производной. Имеют значение порядки по всем переменным.
Классификация уравнений второго порядка
Линейные уравнения второго порядка в частных производных подразделяются на параболические, эллиптические и гиперболические.
Предположим,
что
В этом случае линейное уравнение второго
порядка, зависящее от двух независимых
переменных имеет вид:
где коэффициенты A,
B,
C
могут зависть от x
и y.
Это уравнение похоже на уравнение
конического сечения:
Так же, как конические сечения разделяются на эллипсы, параболы и гиперболы, в зависимости от знака дискриминанта D = B2 − 4AC, классифицируются уравнения второго порядка в заданной точке.
—
Эллиптическое
уравнение
—
Параболическое
уравнение
—
Гиперболическое
уравнение
№25. Основные элементарные функции комплексного переменного.
1.
Степенная функция
w
= z
n, n
- натуральное. Определена, однозначна
и аналитична на всей плоскости С.
Действительно, при n
=1 w
= x
+ iy,
u
= x,
v
= y,
u’x
= 1 = v’y,
u’y
= 0 = -v’x,
w’
= u’x
+ iv’x
= 1 (или, непосредственно,
).
Далее, w
= z
n = z
·z
·z
·...· z
дифференцируема как произведение
дифференцируемых функций. Её производная
w’
= n z
n−1
отлична от нуля при z
≠ 0, следовательно, отображение w
= z
n при n
> 1 конформно в этих точках. (Углы с
вершиной в точке z
= 0 увеличиваются в n
раз). Отображение неоднолистно при n
> 1 на всей плоскости С;
для его однолистности в некоторой
области D
∈
C
необходимо, чтобы область помещалась
в некоторый сектор раствора
.
2.
Показательная функция
w
= e z.
Определим эту функцию предельным
соотношением
.
Докажем, что этот предел существует при
∀
z
= x
+ iy
∈
C:
,
модуль этого числа обозначим Mn:
,
аргумент - Φn:
(при
достаточно больших n
дробь 1 + z
/n
лежит в правой полуплоскости).
,
следовательно, существует
.
При мнимом z = iy (x = 0) отсюда следует, что e iy = cos y + i sin y, теперь формула Эйлера окончательно доказана.
Кратко перечислим свойства этой функции.
1. Функция w = e z аналитична на всей плоскости С, и (e z )’ = e z (доказано в разделе 19.3.3. Примеры вычисления производных).
2. e z1·e z2 = e z1 + z2 (проверяется непосредственно).
3. Функция w = e z периодическая, с мнимым основным периодом 2π i (e2π i = cos(2π) + isin(2π) = 1, e z + 2π i = e z·e 2π i = e z).
Из этого свойства следует, что для однолистности отображения w = e z необходимо, чтобы область D не содержала пары точек, связанных соотношением z2 − z1 = 2 nπ i, такой областью является, например, полоса {0 < Im z < 2π}, преобразуемая в плоскость С с выброшенной положительной полуосью.
3.
Тригонометрические функции.
Определим эти функции соотношениями
,
.
Все свойства этих функций следуют из
этого определения и свойств показательной
функции. Эти функции периодичны с
периодом 2π, первая из них четна, вторая
- нечетна, для них сохраняются обычные
формулы дифференцирования, например,
,
сохраняются обычные тригонометрические
соотношения (sin2z
+ cos2z
= 1 - проверяется непосредственно,
,
формулы сложения и т.д.)
4.
Гиперболические функции.
Эти функции определяются соотношениями
,
.
Из определений следует связь
тригонометрических и гиперболических
функций:
ch z = cos iz, sh z = - i cos iz, cos z = ch iz, sin z = - i sh iz, sh iz = i sin z, sin iz = i sin z.
5.
Функция
.
Это n-значная
функция (раздел 19.1.3),
все значений которой даются формулами
,
k
= 0, 1, 2, …, n-1.
Функция
определяется
.
6. Логарифмическая функция w = Ln z определяется при z ≠ 0 как функция, обратная показательной: w = Ln z, если z = e w. Если w = u + iv, то последнее равенство означает, что e w = e u+ iv = e u e iv = z = | z | e i Arg z , откуда e u = |z| ⇒ u = ln | z |; v = Arg z = arg z + 2 k π i . Таким образом, Ln z = ln| z | + i (arg z + 2 k π), k = 0, ±1, ±2, ±3, ... - функция многозначная (бесконечнозначная); её значение при k = 0 называется главным и обозначается ln z: = ln |z| + i arg z. Так, ln (−5) = ln |−5| + i arg (−5) = ln 5 + πi, Ln (−5) = Ln |−5| + i arg (−5) + 2 k π i = ln 5 + i π(2k + 1), где k - произвольное целое число.
7. Общая показательная a z и общая степенная z a (z, a - произвольные комплексные числа, z, a ≠ 0, a = const) функции определяются соотношениями a z = e z·Ln a, z a = e a·Ln z, и,следовательно, бесконечнозначны.
8.
Обратные тригонометрические и обратные
гиперболические функции
определяются так же, как и в действительном
случае (w
= Ar sh z,
если sh z
= w,
например), и выражаются через Ln
z.
Найдём, например, Arc cos(2i).
По определению, это такое число w,
что cos w
= 2i,
или
.
Так как
,
получаем две серии значений:
№26. Основные признаки сходимости знакоположительных рядов.
Признаки
сходимости Даламбера. Для ряда с
положительными членами
,
вычислим
.
Если
,
то ряд сходится,
-
расходится. При
признак
Даламбера ответа не дает: ряд может как
сходиться, так и расходиться.
Признак
сходимости Коши. Для ряда с неотрицательными
членами
,
вычислим
.
Если
,
то ряд сходится,
-
расходится. При
признак Коши ответа не дает: ряд может
как сходиться, так и расходиться.
Т(Признак Даламбера)
Пусть
для ряда un
с положит членами существует предел:
,
то
1 Если k<1, то ряд сх-ся, иначе расх-ся
Т(Признак
Коши): Пусть для того же самого ряда (т.
е. >0ого) существует предел:
,
тогда Если k<1,
то ряд сх-ся иначе расх-ся. А если эти
все пределы по Коши и Даламберу равны
1, то о сх-ти или расх-ти ряда ничего
сказать нельзя. При применении этого
признака сравнения удобно в качестве
ряда сравнения брать ряд Дирихле или
геометрический ряд, с которыми и так
уже все ясно.
№27. Основные свойства преобразования Лапласа.
Св-ва изображения позволяют находить изображения сложных оригиналов через известные изображения простых оригиналов, не вычисляя интеграла Лапласа.
1) Линейность. Линейная комбинация оригиналов преобразуется в линейную комбинацию изображений: для любых комплексных постоянных с1,...,сn c1f1(t)+...+cnfn(t) c1F1(p)+...+cnFn(p).
Если fi(t) имеют показатели роста i (i=1,...,n), то f(t)=c1f1(t)+...+cnfn(t) - оригинал с показателем роста =max{1,...,n}. Действительно, f(t) кусочно-непрерывная кака линейная комбинация кусочно-непрерывных функций. Кроме того, f(t)
c1f1(t)+...+cnfn(t) c1M1e1t+...+cnMnent все i c1M1et+...+cnMnet =Met, где M=c1M1+...+cnMn и по определению оригинала f(t) - оригинал с показателем роста . В полуплоскости Rep0 она имеет изображение F(p) =(от 0 до +)f(t)e-ptdt =(от 0 до +)(c1f1(t)e-pt+...+cnfn(t)e-pt)dt =линейность интеграла =с1(от 0 до +)f1(t)e-ptdt+...+cn(от 0 до +)fn(t)e-ptdt =c1F1(p)+...+cnFn(p)
Примеры: При любом С: sint =(eit-e-it)/(2i) =1/(2i)eit-1/(2i)e-it 1/(2i)1/(p-i)-1/(2i)1/(p+i) =/(p2+2);
sint /(p2+2). Аналогично cost p/(p2+2); sht /(p2-2); cht p/(p2-2).
2.Подобие. [f(t) F(p), Rep] [(0): f(t) 1/F(p/), Rep] (при умножении аргумента оригинала на положительное число изображение и его аргумент делятся на это число).
f(t) кусочно-непрерывная как сложная функция, составленная из кусочно-непрерывной функции f() и непрерывной функции =t. Кроме того, по условию f(t)Met, так что f(t) Me(t) f(t) Me1t, где 1=. Значит, f(t) - оригинал с показателем роста , и в полуплоскости Rep: (f(t)) =(от 0 до +)f(t)e-ptdt =t=, t=/, dt=d/ =
=1/(от 0 до +)f()e-p/d =1/F(p/)
3.Запаздывание оригинала. [f(t) F(p), Rep] [(0): f(t-) e-pF(p), Rep] (включение оригинала с запаздыванием на влечет умножение изображения на e-p).
f(t-) кусочно-непрерывна как сложная функция из кусочно-непрерывной функции f() и непрерывной =t-. Кроме того, по условию f(t) Met, так что f(t-) Me(t-) =(Me-)et f(t-) M1et, где M1 =e- = const. Значит, f(t-) - оригинал с показателем роста , и для Rep (f(t-)) =(от 0 до +)f(t-)e-ptdt =при t f(t-)=0 =(от до +)f(t-)e-ptdt =t-=, dt=d, при t= =0, при t= = =(от 0 до +)f()e-p(+)d =e-p(от 0 до +)f()e-pd =e-pF(p)
Пример: Найти изображение импульса величиной А за промежуток времени : f(t) ={0 при t0, A при 0t, 0 при t.
Используем единичную функцию Хевисайда: (t) ={0 при t0, 1 при t0. (t-) ={0 при t, 1 при t. f(t) =
=A(t)-A(t-) A((t))-A((t-)) =((t)) 1/p, ((t-)) e-p1/p =A/p-Ae-p/p; f(t) A/p(1-e-p).
4.Cмещение изображения. [f(t) F(p), Rep] [etf(t) F(p-), Rep+Re (C)] (умножение оригинала на et влечет смещение изображения на вектор ).
etC[0, +[ etf(t) кусочно-непрерывна. По условию f(t) Met, поэтому f(t)et = etf(t) =f(t)e(Re)t MeteRet =
=Me(+Re)t etf(t) - оригинал с показателем роста +Re, и в полуплоскости Rep+Re (etf(t)) =
=(от 0 до +)etf(t)e-ptdt =(от 0 до +)f(t)e-(p-)tdt =F(p-)
Примеры: sint /(p2+2) etsint /((p-)2+2). Аналогично etcost (p-)/((p-)2+2).
5.Дифференцирование оригинала. Если f(n)(t) - оригинал с показателем роста , и f(t) F(p), то
f(n)(t) pnF(p)-pn-1f(0)-pn-2f `(0)-...-pf(n-2)(0)-f(n-1)(0) при Rep. В частности, если f(0) =f `(0) =...=f(n-1)(0)=0, то f(n)(t) pnF(p)
(при дифференцировании оригинала изображение умножается на р).
Покажем сначала, что если некоторая функция g(t) есть оригинал с показателем роста , то h(t)=(от 0 до t)g(u)du есть тоже оригинал с тем же показателем роста. Во первых h(t) как интеграл с преременным верхним пределом есть непрерывная функция. Кроме того, g(t) Met h(t) =(от 0 до t)g(u)du (от 0 до t)g(u)du (от 0 до t)Meudu =M/eu (от 0 до t) =M/(et-1) M/et h(t) M1et h(t) - оригинал с показателем роста . Если f `(t) - оригинал с показателем роста , то, по доказанному, h(t) =(от 0 до t)f `(u)du - тоже оригинал с показателем роста . Но
(от 0 до t)f `(u)du =f(t)-f(0) f(t)=h(t)+f(0). f(0)=const есть оригинал с показателем роста 0=0. Значит (из док-ва линейности), f(t) есть оригинал с показателем роста max{, 0} =. Т.о., если f(n)(t) есть оригинал с показателем роста , то и f(n-1)(t),...,f `(t) и f(t) - оригиналы с тем же показателем роста . Поэтому при Rep: (f `(t)) =(от 0 до )f `(t)e-ptdt =
=f `(t)dt=dv; e-pt=u =e-ptf(t) (от 0 до ) - (от 0 до )f(t)(-pe-pt)dt = f(t)e-pt =f(t)e-Rept Mete-Rept =Me(-Rep)t0 f(t)e-pt0 =0-f(0)+p(от 0 до )f(t)e-ptdt f `(t) pF(p)-f(0). Применяя эту формулу еще раз, получим: [f `(t)]` p[pF(p)-f(0)]-f `(0) f ``(t) p2F(p)-pf(0)-f `(0), затем [f ``(t)]` p[p2F(p)-pf(0)-f `(0)]-f ``(0) f ```(t) p3F(p)-p2f(0)-pf `(0)-f ``(0), и т.д.
6) Дифференцирование изображения. [f(t) F(p), Rep] [F(n)(p) (-t)nf(t), Rep] (дифференцирование изображения влечет умножение оригинала на -t).
F(p) - аналитическая на полуплоскости Rep, а значит, бесконечно дифференцируема: F `(p) =((от 0 до )f(t)e-ptdt)`p =
=можно доказать законность дифференцирования под знаком интеграла =(от 0 до )(-t)f(t)e-ptdt F `(p) (-t)f(t). Повторяя n раз, получим F(n))p) (-t)nf(t).
Пример: Найдем (tsint). sint /(p2+2) (-t)sint (/(p2+2))`p =-2p/(p2+2)2 tsint 2p/(p2+2)
7.Интегрирование оригинала. [f(t) F(p), Rep, f(t)C[0, [] [(от 0 до t)f(t)dt F(p)/p, Rep] (интегрирование оригинала влечет деление изображения на р).
Функция (от 0 до t)f(t)dt - тоже оригинал с тем же показателем (из док-ва св-ва дифференцирования оригинала), и в полуплоскости Rep сущ-ет ((от 0 до t)f(t)dt) =Ф(р): h(t) =(от 0 до t)f(t)dt Ф(р) по св-ву дифференцирования оригинала =((от 0 до t)f(t)dt)` pФ(р)-h(0) =pФ(р). Т.к. f(t)C[0, +[, то ((от 0 до t)f(t)dt)` =f(t), так что f(t) рФ(р). Но f(t) F(p) и ввиду единственности изображения рФ(р)=F(p) Ф(р) =F(p)/p
8.Интегрирование изображения. [f(t) F(p), Rep] [f(t)/t (от р до )F(z)dz, если интеграл сходится, Rep], где интеграл берется по любому кусочно-гладкому пути от точки р до в полуплоскости Rep (интегрирование изображения влечет деление оригинала на t).
Без док-ва (заметим, что F(z)H{z: Rez} и потому интеграл не зависит от выбора пути.
Пример: ebt-eat 1/(p-b)-1/(p-a) (ebt-eat)/t (от р до )(1/(z-b)-1/(z-a))dz =главное значение логарифма =ln((z-b)/(z-a)) (от р до ) =(z-b)/(z-a)1 =ln1-ln((p-b)/(p-a)) (ebt-eat)/t - ln((p-b)/(p-a)).
9.Умножение изображений. [f(t) F(p), Rep1; g(t) G(p), Rep2] [F(p)G(p) (от 0 до t)f()g(t-)d,
Repmax{1, 2}=]
(от 0 до t)f()g(t-)d =(t) есть интеграл с параметром t, который одновременно явл-ся и верхним пределом. Можно док-ть, что для кусочно-непрерывных функций f(t) и g(t) функция (t) явл-ся непрерывной. Кроме того, [f()M1e1,
g() M2e2] (t) (от 0 до t)f()g(t-)d (от 0 до t)M1etM2e(t-)d =M1M2(от 0 до t)etd =M1M2et(от 0 до t)d= = M1M2tet =M1M2te(+)t/et. Т.к. lim (при t)t/et=0, то при t функция t/et ограничена: t/et C. Значит, (t)
M1M2Ce(+)t =Me(+)t, т.к. inf (при 0)(+) =, то (t) есть оригинал с показателем роста =max{1, 2}. Поэтому при Rep: ((t)) =(от 0 до +)((от 0 до t)f()g(t-)d)e-ptdt =(от 0 до +)dt(от 0 до t)f()g(t-)e-ptd =изменим порядок интегрирования =(от 0 до )d(от до )f()g(t-)e-ptdt =(от 0 до )f()d(от до )g(t-)e-ptdt =во внутреннем интеграле: t- =, dt=d, при t= =0, при t= = =(от 0 до )f()d(от 0 до )g()e-p(+)d =
=(от 0 до )f()e-pd(от 0 до )g()e-pd =G(p)=const (не содержит ) =G(p)(от 0 до )f()e-pd =G(p)F(p)
Определение 1: Интеграл (от 0 до t)f()g(t-)d наз-ся сверткой функций f(t) и g(t): (от 0 до t)f()g(t-)d =f*g. Действие свертывания функций обладает переместительным св-вом: f*g =(от 0 до t)f()g(t-)d =t-=, d= -d, при =0 =t, при =t =0 =(от t до 0)f(t-)g()(-d) =(от 0 до t)g()f(t-)d =g*f. Т.о. св-во 9) имеет вид: f*g F(p)G(p) (свертывание оригиналов влечет умножение изображений).
Следствие (формула Дюамеля): [f(t) F(p), Rep1; g(t) G(p), Rep2; g(t) - оригинал] [f(t)g(0)+f*g` pF(p)G(p), Rep=max{1, 2}]
pF(p)G(p) =F(p)[pG(p)-g(0)+g(0)] =F(p)[pG(p)-g(0)]+g(0)F(p). По св-ву 5): pG(0)-g(0) g`(t), по св-ву 9):
F(p)[pG(p)-g(0)] f*g`. С учетом g(0)F(p) g(0)f(t) по св-ву линейности получаем pF(p)G(p) f*g`+g(0)f(t)
10. Умножение оригиналов. [f(t) F(p), Rep1; g(t) G(p), Rep2] [f1(t)f2(t) 1/(2i)(от a-i до a+i)F(z)G(p-z)dz, Rep=1+2], где аR - любое число , а путь интегрирования такой же, как в т-ме обращения.
Без док-ва . (интеграл в правой части наз-ся сверткой функций F(p) и G(p) в комплексной плоскости: F*G. Т.о., умножение оригиналов влечет свертывание изображений.
Таблица основных оригиналов и изображений.
1 1/p; et 1/(p-); tn n!/pn+1; sint /(p2+2); cost p/(p2+2); sht /(p2-2); cht p/(p2-2); tet 1/(p-)2;
tsint 2p/(p2+2)2; tcost (p2-2)/(p2+2)2; tsht 2p/(p2-2)2; tcht (p2+2)/(p2-2)2.
Нахождение оригинала по изображению.
Оригинал f(t) можно найти по формуле обращения, вычисляя интеграл: f(t) =1/(2i)(от a-i до a+i)F(p)eptdp вдоль вертикальной прямой Rep=a в полуплоскости Rep, где F(p) аналитична ( - показатель роста оригинала). В частности, можно док-ть, что если в остальной части плоскости имеется только конечное число изолированных особых точек р1,...,pn и выполняется условие lim (при р)F(p)=0, то f(t) =1/(2i)(от a- до a+)F(p)eptdp =(от k=1 до n)Res F(p)ept. (1)
В случае, когда F(p) - рациональная функция (частное многочленов), являющаяся правильной дробью F(p)=A(p)/B(p), то она имеет на всей плоскости только конечное число полюсов (если дробь несократима, то полюсами явл-ся нули знаменателя, а их - конечное число: столько, какова степень знаменателя). Кроме того, условие lim (при p)F(p)=0 выполняется, т.к. степень знаменателя больше. Значит, для такой дроби формула (1) верна:
f(t) =(от k=1 до n)Res A(p)/B(p)ept
Пример 1: F(p)=p/(p2-1)2 - правильная дробь, p1=-1, p2=1 - полюсы второго порядка.
f(t) =Res(в точке р=-1)pept/(p2-1)2 + Res(в точке р=1)pept/(p2-1)2 =1/1!lim(при р-1)(pept/(p2-1)2(p+1)2)`p +
+ 1/1!lim(при р1)(pept/(p2-1)2(p-1)2)`p =1/2tsht.
Оригинал правильной дроби можно найти также, разложив ее на простейшие дроби (методом неопределенных коэффициентов), пользуясь таблицей изображений и линейностью изображений.
Пример 2: F(p) =(3p2+3p+2)/((p-2)(p2+4p+8)) =A/(p-2) + (Mp+N)/(p2+4p+8) =1/(p-2) + (2p+3)/(p2+4p+8); 1/(p-2) e2t;
(2p+3)/(p2+4p+8) =(2p+3)/((p+2)2+22) =(2(p+2)-1)/((p+2)2+22) =2(p+2)/((p+2)2+22) - 1/22/((p+2)2+22)
2cos2te-2t - 1/2e-2tsin2t; (3p2+3p+2)/((p-2)(p2+4p+8)) e2t + e-2t(2cos2t-1/2sin2t).
№28. Понятие равномерной сходимости функционального ряда. Мажорантный признак Вейерштрасса.
Если
для >0
N()
что | rn(z)|
<для
n
N()
и
z одновременно, то ряд .
uk(z)
называется равномерно
сходящимся
к функции f(z) в g.
Обозначение:
uk(z)=>f(z).
Понятие равномерной сходимости-глобальное.
Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости- критерий Коши:
Если для >0 N( ): | Sn+m(z)-Sn(z)| <для n N и m>0 и z одновременно, то ряд . uk(z)=>f(z).
Доказательство.
Необходимость.
Пусть ряд
uk(z)
сходится равномерно к f(z):
>0
N()
что |f(z)-Sn(z)|
<
/2 для n
N()
и z
g
=> и подавно |f(z)-Sn+m(z)|
<
/2 =>
=>| Sn+m(z)-Sn(z)|
<для
n
N
и m>0
и z
g.
Достаточность.
Пусть для >0
N(
): | Sn+m(z)-Sn(z)|
<
(*) для n
N
и m>0
и z
g
=> в z
g
выполнен критерий Коши для числового
ряда, т.е. все числовые ряды сходятся и
в g определена f(z)=
uk(z).
Переходя в (*) к пределу при m
получим |f(z)-Sn(z)|
для
n
N()
и z
g
=> |rn(z)|
<для
n
N()
и z
g.
Признак равномерной сходимости.