Это каноническая форма уравнения параболического типа.

3) . Коэффициенты уравнений (5), а следовательно и 1ые интегралы уравнений - комплексные величины.

Пусть - один из интегралов (5), тогда другой интеграл будет комплексно сопряженным с указанным.

 

Чтобы не иметь дела с комплексными переменными, введем новые переменные

 

так как ξ = φ(x, y) - интеграл уравнения (5), отсюда - решением уравнения (4).

Разделим в этом тождестве действительные и мнимые части:

 

Из (3) и (11)   [где через обозначены идентичные A, B, C функции из (3), только при новой (α,β) замене].

Из (7)  

Поделим уравнение (2) на А:    

Т.е. для уравнения эллиптического типа после определения 1^ых интегралов системы (5) достаточно положить: 

№37. Признаки сходимости знакоположительных рядов. Геометрический ряд.

Признаки сходимости Даламбера. Для ряда с положительными членами , вычислим  . Если , то ряд сходится, - расходится. При признак Даламбера ответа не дает: ряд может как сходиться, так и расходиться.

Признак сходимости Коши. Для ряда с неотрицательными членами  , вычислим . Если  , то ряд сходится, - расходится. При   признак Коши ответа не дает: ряд может как сходиться, так и расходиться.

Т(Признак Даламбера)

Пусть для ряда un с положит членами существует предел: , то

1 Если k<1, то ряд сх-ся, иначе расх-ся

Т(Признак Коши): Пусть для того же самого ряда (т. е. >0ого) существует предел: , тогда

Если k<1, то ряд сх-ся иначе расх-ся. А если эти все пределы по Коши и Даламберу равны 1, то о сх-ти или расх-ти ряда ничего сказать нельзя. При применении этого признака сравнения удобно в качестве ряда сравнения брать ряд Дирихле или геометрический ряд, с которыми и так уже все ясно.

Так называется ряд (бесконечная сумма), члены которого образуют геометрическую прогрессию с первым членом а₀ и знаменателем прогрессии, равным q.

Если |q| < 1, то существует предел суммы n первых членов этой прогрессии при неограниченном увеличении количества этих членов n:

В этом случае говорят о бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

№48. Уравнение Пуассона и Лапласа, тип этих уравнений.

Уравне́ние Пуассо́на — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое, среди прочего, описывает

электростатическое поле,

стационарное поле температуры,

поле давления,

поле потенциала скорости в гидродинамике.

Оно названо в честь знаменитого французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид: где Δ — оператор Лапласа или лапласиан, а f — действительная или комплексная функция на некотором многообразии. Когда в качестве многообразия выступает Евклидово пространство, оператор Лапласа часто обозначается как и уравнение Пуассона принимает вид:

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

Если f стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа — частный случай уравнения Пуассона):

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».

№38. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.

№39. Решение задачи Коши для уравнений колебания струны методом Даламбера.

В случае если длина струны очень велика, то на колебания, возникающие в середине струны, концы струны влияния практически не оказывают. Поэтому, рассматривая колебания бесконечной струны, уравнение решается только при начальных условиях:

Для нахождения решения введем новые переменные:

Тогда исходное уравнение принимает вид:

Решением этого уравнения будет функция , где  и  - некоторые функции, которые будем считать дважды дифференцируемыми. Получаем: Если продифференцировать полученный ответ, получим:

Т.е. .   Далее с использованием начальных условий находим функции  и .

Проинтегрировав последнее равенство на отрезке [0, x], получаем:

Тогда:

Решение задачи Коши получаем в виде:

Эта формула называется формулой Даламбера.

№40. Ряд Тейлора и ряд Маклорена, разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

Для функции f(x), имеющей все производные до (n+1)-го порядка включительно, в окрестности точки x = а (т. е. на некотором интервале, содер­жащем точку x = а) справедлива формула Тейлора:

(1)

где так называемый остаточный член R_n (x) вычисляется по формуле

Если функция f(x) имеет производные всех порядков в окрест­ности точки x = а, то в формуле Тейлора число n можно брать сколь угодно большим.

Допустим, что в рассматриваемой окрестности остаточный член R_n стремится к нулю при

Тогда, переходя в формуле (1) к пределу при , получим справа бесконечный ряд, который называется рядом Тейлора:

(2)

Последнее равенство справедливо лишь в том случае, если при . В этом случае написанный справа ряд сходится и его сумма равна данной функции f(x). Докажем, что это действительно так:

где

Так как, по условию, то

Но P_n (x) есть n-я частичная сумма ряда (2); ее предел равен сумме ряда, стоящего в правой части равенства (2). Следовательно, равенство (2) справедливо:

из предыдущего следует, что ряд Тейлора представляет данную функцию f(x) только тогда, когда Если

то ряд не представляет данной функции, хотя может и сходиться (к другой функции).

Если в ряде Тейлора положим а = 0, то получим частный случай ряда Тейлора, который называют рядом Маклорена: (3)

№41. Ряды с комплексными членами. Абсолютная сходимость. Радиус сходимости степенного ряда.

Числовые ряды с комплексными членами. Все основные определения сходимости, свойства сходящихся рядов, признаки сходимости для комплексных рядов ничем не отличаются от действительного случая.         19.4.1.1. Основные определения. Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел z₁, z₂, z₃, …, z_n, … .Действительную часть числа z_n будем обозначать a_n, мнимую - b_n (т.е. z_n = a_n + i b_n, n = 1, 2, 3, …).

        Числовой ряд - запись вида .

    Частичные суммы ряда: S₁ = z₁, S₂ = z₁ + z₂, S₃ = z₁ + z₂ + z₃, S₄ = z₁ + z₂ + z₃ + z₄, …, S_n = z₁ + z₂ + z₃ … + z_n, … Определение. Если существует предел S последовательности частичных сумм ряда при n → ∞, являющийся собственным комплексным числом, то говорят, что ряд сходится; число S называют суммой ряда и пишут S = z₁ + z₂ + z₃ + … + z_n + … или S = .

        Найдём действительные и мнимые части частичных сумм:

S_n = z₁ + z₂ + z₃ + … + z_n = (a₁ + i b₁) + (a₂ + i b₂) + (a₃ + i b₃) + … + (a_n + i b_n) = (a₁ + a₂ + a₃ +…+ a_n) + + i(b₁ + b₂ + b₃ + ... + b_n) = σ_n + iτ_n, где символами σ_n и τ_n обозначены действительная и мнимая части частичной суммы. Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности, составленные из её действительной и мнимой частей. Таким образом, ряд с комплексными членами сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды, образованные его действительной и мнимой частями. На этом утверждении основан один из способов исследования сходимости рядов с комплексными членами.

        Пример. Исследовать на сходимость ряд .

        Выпишем несколько значений выражения :

дальше значения периодически повторяются. Ряд из действительных частей: ; ряд из мнимых частей ; оба ряда сходятся (условно), поэтому исходный ряд сходится.         Абсолютная сходимость.

        Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из абсолютных величин его членов.

        Так же, как и для числовых действительных рядов с произвольными членами, легко доказать, что если сходится ряд , то обязательно сходится ряд . (|a_n| ≤ |z_n|, |b_n| ≤ |z_n|, поэтому ряды, образованные действительной и мнимой частями ряда , сходятся абсолютно). Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

        Ряд - ряд с неотрицательными членами, поэтому для исследования его сходимости можно применять все известные признаки ( от теорем сравнения до интегрального признака Коши).

ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА: lim(n∞)Un+1/Un =ρ, >1 – сходится, <1 – расходится, Ck>0, |Un+1|=Cn+1|x|(c.n+1), |Un|=Cn|x|(c.n),

lim(n∞)Cn+1|x|(c.n+1)/Cn|x|(c.n)= lim(n∞)|x|Cn+1/Cn=

=|x| lim(n∞)Cn+1/Cn. Пусть lim≠0 существует. LIM=1/R, R>0,

|x|*1/R<1, |x|<R, xЄ(-R; R) – интервал сходимости. R – радиус сходимости степенного ряда x=-R и x=R – исследуется дополнительно

№42. Ряды Фурье четных и нечетных функций.

№43. Степенные ряды. Радиус сходимости, интервал сходимости.

№44. Сходимость и сумма числового ряда. Необходимый признак сходимости. Критерий сходимости Коши (необходимое и достаточное условие сходимости ряда).

Пусть  — последовательность чисел. Число называется n-ой частичной суммой ряда .

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм S_n, если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут .

Свойство 1. Если ряд

  (1.1) сходится и его сумма равна S, то ряд

 (1.2)

где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд , а их суммы равны S₁ и S₂ соответственно, то сходятся и ряды , причём сумма каждого равна соответственно .

Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел. Этот предел называется суммой сходящегося ряда.

Ряд u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n + ...   может сходиться лишь в том случае, когда член u_n (общий член ряда) стремится к нулю:

Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.

Критерий Коши в ответе № 17.

№45. Теорема Тейлора и разложение элементарных функций комплексного переменного в ряды.

Теорема о разложении функции в ряд Тейлора. Если функция w = f(z) аналитична в области D, z₀ ∈ D, то функция f(z)может быть разложена в ряд Тейлора по степеням (z – z₀)ⁿ. Этот ряд абсолютно сходится к f(z) внутри круга | z – z₀| < r, где r - расстояние от z₀ до границы области D (до ближайшей к z₀ точке, в которой функция теряет аналитичность). Это разложение единственно. Единственность разложения следует из того, что коэффициенты ряда однозначно выражаются через производные функции.

1. Степенная функция w = z ⁿ, n - натуральное. Определена, однозначна и аналитична на всей плоскости С. Действительно, при n =1 w = x + iy, u = x, v = y, u’_x = 1 = v’_y, u’_y = 0 = -v’_x, w’ = u’_x + iv’_x = 1 (или, непосредственно, ). Далее, w = z ⁿ = z ·z ·z ·...· z дифференцируема как произведение дифференцируемых функций. Её производная w’ = n z ⁿ⁻¹ отлична от нуля при z ≠ 0, следовательно, отображение w = z ⁿ при n > 1 конформно в этих точках. (Углы с вершиной в точке z = 0 увеличиваются в n раз). Отображение неоднолистно при n > 1 на всей плоскости С; для его однолистности в некоторой области D ∈ C необходимо, чтобы область помещалась в некоторый сектор раствора .

2. Показательная функция w = e ^z. Определим эту функцию предельным соотношением . Докажем, что этот предел существует при ∀ z = x + iy ∈ C: , модуль этого числа обозначим M_n: , аргумент - Φ_n: (при достаточно больших n дробь 1 + z /n лежит в правой полуплоскости). , следовательно, существует .

        При мнимом z = iy (x = 0) отсюда следует, что e ^iy = cos y + i sin y, теперь формула Эйлера окончательно доказана.

        Кратко перечислим свойства этой функции.

        1. Функция w = e ^z аналитична на всей плоскости С, и (e ^z )’ = e ^z (доказано в разделе 19.3.3. Примеры вычисления производных).

        2. e ^z₁·e ^z₂ = e ^z₁ ^{+ z}₂ (проверяется непосредственно).

        3. Функция w = e ^z периодическая, с мнимым основным периодом 2π i (e^{2π i} = cos(2π) + isin(2π) = 1, e ^{z + 2π i} = e ^z·e ^{2π i} = e ^z).

        Из этого свойства следует, что для однолистности отображения w = e ^z необходимо, чтобы область D не содержала пары точек, связанных соотношением z₂ − z₁ = 2 nπ i, такой областью является, например, полоса {0 < Im z < 2π}, преобразуемая в плоскость С с выброшенной положительной полуосью.

        3. Тригонометрические функции. Определим эти функции соотношениями , . Все свойства этих функций следуют из этого определения и свойств показательной функции. Эти функции периодичны с периодом 2π, первая из них четна, вторая - нечетна, для них сохраняются обычные формулы дифференцирования, например, , сохраняются обычные тригонометрические соотношения (sin²z + cos²z = 1 - проверяется непосредственно, , формулы сложения и т.д.)

        4. Гиперболические функции. Эти функции определяются соотношениями , . Из определений следует связь тригонометрических и гиперболических функций:

        ch z = cos iz, sh z = - i cos iz, cos z = ch iz, sin z = - i sh iz, sh iz = i sin z, sin iz = i sin z.

        5. Функция . Это n-значная функция (раздел 19.1.3), все значений которой даются формулами , k = 0, 1, 2, …, n-1. Функция определяется .

        6. Логарифмическая функция w = Ln z определяется при z ≠ 0 как функция, обратная показательной: w = Ln z, если z = e ^w. Если w = u + iv, то последнее равенство означает, что e ^w = e ^{u+ iv} = e ^u e ^iv = z = | z | e ^{i Arg z} , откуда e ^u = |z| ⇒ u = ln | z |; v = Arg z = arg z + 2 k π i . Таким образом, Ln z = ln| z | + i (arg z + 2 k π), k = 0, ±1, ±2, ±3, ... - функция многозначная (бесконечнозначная); её значение при k = 0 называется главным и обозначается ln z: = ln |z| + i arg z. Так, ln (−5) = ln |−5| + i arg (−5) = ln 5 + πi, Ln (−5) = Ln |−5| + i arg (−5) + 2 k π i = ln 5 + i π(2k + 1), где k - произвольное целое число.

        7. Общая показательная a ^z и общая степенная z ^a (z, a - произвольные комплексные числа, z, a ≠ 0, a = const) функции определяются соотношениями a ^z = e ^{z·Ln a}, z ^a = e ^{a·Ln z}, и,следовательно, бесконечнозначны.

        8. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции определяются так же, как и в действительном случае (w = Ar sh z, если sh z = w, например), и выражаются через Ln z. Найдём, например, Arc cos(2i). По определению, это такое число w, что cos w = 2i, или . Так как , получаем две серии значений: ,

№46. Типы уравнений второго порядка в частных производных.

Большая часть всех уравнений в частных производных 2^го порядка, линейных относительно вторых производных являются представителями 3^х различных классов уравнений, которые существенно отличаются друг от друга по методам исследования и по физической природе (описывают различные физические явления).

Остановимся более подробно на случае 2^х независимых переменных:  u = u(x,y).

a,b,c - функции, определенные в некоторой области Ω = Oxy и имеющие непрерывные производные до 2^го порядка.

f - непрерывная функция своих аргументов; если f - линейная относительно u, u_x , u_y, то уравнение (1) - линейное.

Поставим перед собой задачу: с помощью замены независимых переменных (x, y) привести уравнение (1) к наиболее простому виду.

Введем новые переменные:     ,     и потребуем, чтобы они были дважды непрерывно-дифференцируемы и чтобы якобиан перехода:

в области Ω.

Преобразуем производные к новым переменным:

Тогда уравнение (1) в новых переменных примет вид:

    где

Попытаемся выбрать ξ(x, y) и η(x, y) так, чтобы обратить в нуль некоторые из коэффициентов A,B,C. Вопрос об обращении A и С в нуль эквивалентен вопросу о разрешимости дифференциального уравнения 1^го порядка.

  относительно неизвестной функции z(x, y). Поделим на z_y²:

   

Решим как квадратное уравнение относительно :

   

Решая каждое из них методом характаристик:

          - интегралы системы (*), а, следовательно, решения уравнения (4).

Уравнения (5) могут быть записаны в виде одного уравнения:

Обычно это уравнение и используют для определения интегралов системы (5). Поведение функций φ(x, y) и ψ(x, y), а, следовательно, и искомый простейший вид исходного уравнения зависит от знака  

Определение:   Уравнение (1) называется в некоторой точке

гиперболического типа, если  

эллиптического типа, если  

параболического типа, если  

Определение:   Если знак сохраняет знак, или в некоторой области , то уравнение является гиперболическим, эллиптическим или параболическим в области G₁:

Пример:

   

   

   

   

№47. Тригонометрические ряды (ряды Фурье). Разложение в ряд Фурье периодических функций.

Тригонометрическим рядом Фурье функции f(x), имеющей период T = 2l, называется ряд вида

(53)

в котором коэффициенты a_o, a_n, b_n вычисляются по формулам

, 

n = 1, 2, 3, ...

При этом говорят, что ряд (53) порождён функцией f(x), а коэффициенты a_o, a_n, b_n называются коэффициентами Фурье. В случае, когда функция f(x) имеет период Т = 2π, её ряд Фурье имеет вид

и коэффициенты Фурье вычисляются по формулам

№50. Функциональные ряды, область сходимости функциональных рядов. Равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса.

Функциональным рядом называется формально составленное выражение , где {u_n(x)}— последовательность функций, определенных в некоторой областиD. Областью сходимости функционального ряда называется множество M значений x из D, для которых соответствующий числовой ряд сходится. Если u_n =c_n(x-a)ⁿ, где c_n— не зависят от x, то ряд называют степенным рядом; если u_n=a_ncos c_nx + b_nsin c_nx, где a_n,b_n,c_n— не зависят от x,то ряд называют тригонометрическим рядом.

Теорема (первая теорема Вейерштрасса)

Если функция непрерывна на сегменте, то она ограничена на нем.

Доказательство: методом от противного, воспользуемся свойством замкнутости сегмента [a,b]. Из любой последовательности (x_n) этого сегмента можем выделить подпоследовательность , сходящуюся к .

Пусть f не ограничена на сегменте [a;b], например, сверху, тогда для всякого натурального  найдется точка , что . Придавая n значения 1,2,3,…, мы получим последовательность (x_n) точек сегмента [a;b] для которых выполнено свойство f(x₁)>1,f(x₂)>2,f(x₃)>3,…,f(x_n)>n…

Последовательность  ограничена и поэтому из нее по теореме можно выделить подпоследовательность _{> >}, которая сходится к точке :  (1)

Рассмотрим соответствующую последовательность . С одной стороны   и поэтому   (2),

С другой стороны, учитывая определение непрерывной функции по Гейне из (1) будем иметь      (3)

Получаем равенства (2) и (3) противоречат теореме (о единственности предела). Это противоречие и доказывает справедливость Т. Аналогично доказывается ограниченность функции снизу. Ч.Т.Д.

 

Замечание 1

Таким образом, если f непрерывна на [a;b], то ее множество значений ограничено и поэтому существует конечные верхняя и нижняя грань функции.

,  , но открыт вопрос о достижении функции своих граней.

Замечание 2

Если слово сегмент в условии теоремы заменить словом интервал или полуинтервал, то теорема может и нарушиться. Пример, , но функция не ограничена на этом интервале.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса)

Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения ).

Доказательство: Пусть , , . По первой теореме Вейерштрасса  _> . Докажем, что f достигает на [a;b] своих граней, т.е. найдутся такие точки , что f(x₁)=c, f(x₂)=d.

Докажем, например, существование точки x₂. По определению верхней грани имеем . Предположим противное, т.е. точки x₂, в которой f(x₂)=d на [a;b], тогда на [a;b] выполняется условие f(x)<d или d-f(x)>0. Далее введем вспомогательную функцию .  на [a;b] положительна и непрерывна (как отношение двух непрерывных на [a;b] функций и ), поэтому по первой Т. Вейерштрасса на [a;b] ограничена. Это означает, что при некотором М>0 , отсюда имеем . Полученное неравенство противоречит тому, что d является верхней гранью функции f(x) на [a;b], т.е. наименьшим из верхних границ. Полученное противоречие и означает существование точки х₂ такой, что f(x₂)=d.  Аналогично доказывается существование точки , такой что f(x₁)=c.

 

Следствие

Если f непрерывна и непостоянна на [a;b], то образ этого отрезка [a;b] при отображении f будет так же отрезок, т.е. непрерывный непостоянный образ отрезка есть отрезок

Док-во: В самом деле образом отрезка [a;b] при отображении f будет отрезок [c;d], где , а , что следует из второй теоремы Больцано-Коши и второй Т. Вейерштрасса Ч.Т.Д.