9. Решение системы линейных уравнений при помощи обратной матрицы

Матрица – столбец В, элементами которой являются свободные члены системы, или правые части уравнений системы. А матрица- столбец х, элементами которой являются искомые неизвестные, называется решением системы. Если матрица системы не вырождена(m=n, detA 0), то у неё существует обратная матрица и тогда решением системы будет:

A*x=B

A^-1*A*x=A^-1*B

E*x=A^-1*B

x= A^-1*B

10. Метод Гаусса.

Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные

1. Если А приведена к треугольному виду (m=n), то система имеет единственное решение, которое находится методом обратного хода.

2. Если А приведена к трапециевидному виду и не содержит строки , то система имеет бесконечное множество решений.

3. Если А приведена к трапециевидному виду и содержит строки , то система решений не имеет.

11. Теорема Кронекера-Капелли.

Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу матрицы расширенной.

rgА=rg

Если система совместна и rgА=k, то чтобы найти общее решение этой системы оставляем те k уравнений, которые образуют ненулевой минор. Неизвестные коэффициенты, при которых образуют ненулевой минор называем базисными, все остальные свободными.

Перенося свободные неизвестные в правую часть равенств, получим систему,

12. Однородные системы. Фундаментальная система решений.

 Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rg A < n.

     Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

     Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

c₁= , c₂= , … , c_n-1 =

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения (c₁, c₂, … , c_n-r) образуют нормированную фундаментальную систему.

     В линейном пространстве V_n множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r; (c₁, c₂, … , c_n-r)  - базис этого подпространства.

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:

, A_{m × n} = , A_{m × n} = (1) Нулевое решение = (0,…,0) системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Решения однородной системы обладают свойством линейности:

Теорема (о линейном решении однородных систем): Пусть ¹,…, ^k— решения однородной системы (1), c₁,…,c_k— произвольные константы. Тогда = c₁ ¹+…+c_k ^k также является решением рассматриваемой системы.

Теорема (о структуре общего решения): Пусть r = rg A, тогда:

• Если r = n, где n— число переменных системы, то существует только тривиальное решение;

• Если r<n , то существует (n – r) линейно независимых решений рассматриваемой системы: ¹,…, ^n-r, причём её общее решение имеет вид: _OO=c₁ ¹+…+c_n-r ^n-r, где c₁,…,c_n-r — некоторые константы.

Пусть дана однородная система (1), тогда набор векторов ¹,…, ^k размера n называется фундаментальной системой решений (ФСР) (1), если:

• ¹,…, ^k — решения системы (1);

• ¹,…, ^k линейно независимы;

• : A = c₁,…,c_k : ^* = c₁ ¹+…+c_k ^k..

Теорема (о ФСР). Пусть ранг основной матрицы rgA= r<n, где n— число переменных системы (1), тогда:

• ФСР (1) существует: ¹,…, ^k;

• она состоит из k= (n-rg A_{m × n}) векторов;

• общее решение системы имеет вид _OO=c₁ ¹+…+c_n-r ^n-r

Замечание: Если n=r, то ФСР не существует.