24. Уравнение прямой проходящей через 2 точки. Уравнение прямой в отрезках.

Уравнение прямой, проходящей через две точки: A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂), записывается так:  

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле: k =

Уравнение прямой в отрезках:

ax+by+c=0, c 0

ax+by= -c

+ = 1

+ = 1

+ = 1, где А, В – количество единичных отрезков отсекаемых прямой от оси ОХ и ОУ соответственно.

25. Расстояние от точки до прямой.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Если точка M₀∈l , то ρ(M₀,l)=0 (расстояние от точки M₀ до прямой l) Для всякой точки M₂ M₁ M₀M₂>M₀M₁ 

Найдем ρ(M₀,l) - ? O −  прямоугольная система координат;

M₀(x₀,y₀);M₁(x₁,y₁);

⊥ l  и  ⊥ l ;

∣∣  , тогда · =∣ ∣ ·∣ ∣(±1) 

(x₁−x₀,y₁−y₀); (A,B); 

· =A(x₁−x₀)+B(y₁−y₀)=Ax₁+By₁−(Ax₀+By₀),  т.к. M₁(x₁,y₁)∈l⇒Ax₁+By₁+C=0 , следовательно, последнее выражение можно переписать в виде: · =A(x₁−x₀)+B(y₁−y₀)=−(С+Ax₀+By₀)  

Длина вектора ∣ ∣=

Подставим все в выражение (1): −(С+Ax₀+By₀)=±ρ(M₀,l)

Откуда получим конечное выражение для нахождения расстояния от точки до прямой: ρ(M₀,l) =

26. Расположение прямых на плоскости.

Пусть l₁: A₁x+B₁y+C₁=0 и l₂: A₂x+B₂y+C₂=0 – общие уравнения двух прямых на координатной плоскости Оху. Тогда

1) если   , то прямые l₁ и l₂ совпадают;

2) если  , то прямые  l₁ и l₂ параллельные;

3) если  , то прямые l₁ и l₂ пересекаются.

4) если А₁А₂+В₁В₂=0, то прямые l₁ и l₂  перпендикулярны

5) углом между прямыми, будет угол между их нормальными векторами: cos =

Пусть l₁: и l₂: - канонические уравнения двух прямых

1. , то прямые  l₁ и l₂ параллельные;

2. m₁m₂+n₁n₂=0, то прямые l₁ и l₂  перпендикулярны;

3. углом между прямыми, будет угол между их направляющими векторами: cos =

Пусть l₁: y=k₁x+b₁, k₁=tg ₁ и l₂: y=k₂ x+b₂, k₂=tg ₂

1. tg = - угол между прямыми l₁ и l₂, где поворот от l₁ и l₂ происходит против часовой стрелки;

2. k₂=k₁, то прямые  l₁ и l₂ параллельные;

3. k₁= - , то прямые l₁ и l₂  перпендикулярны.

27. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках.

Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:

 Ax + By + Cz + D = 0

где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.

Уравнение называется неполным уравнением прямой на плоскости, если хотя бы один из его коэффициентов А, В, С равен нулю.

Возможны следующие частные случаи:

1. А = 0 – плоскость параллельна оси Ох

2. В = 0 – плоскость параллельна оси Оу

3. С = 0 – плоскость параллельна оси Оz

4. D = 0 – плоскость проходит через начало координат

5. А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу

6. А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz

7. В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz

8. А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох

9. В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу

10. С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz

11. А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу

12. А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz

13. В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz

Если в уравнении плоскости  Ax + By + Cz + D = 0 ни один из коэффициентов A, B, C не равен нулю, то это уравнение может быть преобразовано к виду  - уравнение плоскости «в отрезках».

Где a = - ,b = - , c = - суть величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях (считая каждый от начала координат).