- •Вопросы по математической логике
- •Исчисление высказываний (ив). Основные понятия.
- •Исчисление высказываний. Алгебра высказываний. Основные логические операции.
- •Исчисление высказываний. Правила записи сложных суждений.
- •Исчисление высказываний. Законы эквивалентных преобразований формул.
- •Исчисление высказываний (ив). Проблемы разрешимости формул. Таблицы истинности.
- •Исчисление высказываний. Метод дедуктивного вывода. Modus ponens.
- •Исчисление высказываний. Метод дедуктивного вывода. Modus tollens.
- •Исчисление высказываний. Основные аксиомы вывода.
- •Исчисление высказываний. Принцип резолюции.
- •Исчисление высказываний. Расширение принципа резолюции (линейность и упорядоченность литер в дизъюнкте).
- •Исчисление предикатов. Основные понятия.
- •Исчисление предикатов. Алгебра предикатов. Основные логические операции.
- •Исчисление предикатов. Правила записи сложных суждений.
- •Исчисление предикатов. Законы эквивалентных преобразований.
- •Исчисление предикатов. Пренексная нормальная форма (пнф) формулы.
- •Исчисление предикатов. Сколемовская стандартная форма формулы.
- •Исчисление предикатов. Основные аксиомы вывода.
- •Исчисление предикатов. Принцип резолюции.
- •Исчисление предикатов. Расширение принципа резолюции (линейность и упорядоченность литер в дизъюнкте).
- •Исчисление предикатов. Подстановка и унификация.
- •Исчисление нечётких множеств. Основные понятия. Алгебра нечётких множеств.
- •Исчисление нечётких отношений. Основные понятия. Алгебра нечётких отношений.
- •Логика нечётких высказываний. Основные понятия.
- •Выбор решения при нечётком выводе заключения.
- •Реляционная логика. Основные понятия.
- •Реляционная алгебра. Основные и дополнительные унарные операторы.
- •Реляционная алгебра. Основные бинарные операторы.
- •Реляционная алгебра. Дополнительные бинарные операторы.
- •Реляционное исчисление (ри) с переменными-кортежами.
- •Реляционное исчисление (ри) на доменах.
- •Грамматика формального языка бнф.
- •Формальные грамматики типа 0 и 1. Вывод цепочек терминальных символов.
- •Формальные грамматики типа 2 и 3. Вывод цепочек терминальных символов.
- •Цепочки символов формального языка. Система составляющих.
- •Синтаксическое дерево и алгоритм его обхода “сверху-вниз”.
- •Синтаксическое дерево и алгоритм его обхода “снизу-вверх”.
- •Двоичное дерево. Матрица связей и таблица подстановок.
- •Двоичное дерево. Грамматический разбор цепочки терминальных символов “сверху-вниз”.
- •Двоичное дерево. Грамматический разбор цепочки терминальных символов “снизу-вверх”.
- •Операции над языками.
Исчисление высказываний. Метод дедуктивного вывода. Modus tollens.
см. вопрос 7.
Удаление импликации. Modus tollens:
F2; (F1 F2)
F1
Остальные аксиомы см. вопрос 8.
Исчисление высказываний. Основные аксиомы вывода.
1) введение конъюнкции
_F1; F2_
(F1 & F2)
2) удаление конъюнкции
(F1& F2) (F1& F2)
F1 ; F2
3) введение дизъюнкции
___F1___ ___F2___
(F1 F2) ; (F1 F2)
4) введение дизъюнкции
F1; (F1 F2) F2; (F1 F2)
F2 ; F1
5) введение импликации:
а) “истина из чего угодно”
___F1___
F2 F1
б) “из ложного что угодно”
___F1___
F1 F2
в) закон силлогизма
(F1 F2); (F2 F3)
(F1 F3)
г) закон контрапозиции
_(F1 F2)_
(F2 F1)
6) удаление импликации:
а) modus ponens
F1; (F1 F2)
F2
б) modus tollens
F2; (F1 F2)
F1
7) введение эквиваленции
(F1 F2); (F2 F1)
(F1 F2)
8) удаление эквиваленции
(F1 F2) (F1 F2)
(F1 F2) ; (F2 F1)
Исчисление высказываний. Принцип резолюции.
Выводимость формулы B из множества посылок F1; F2; … Fn равносильна доказательству теоремы ├─ (F1 & F2 & … & Fn B). Используя правила эквивалентных преобразований алгебры высказываний, формулу теоремы можно преобразовать так: ├─ (F1 & F2 & … & Fn B) = ((F1 & F2 & … & Fn) B) = (F1 & F2 & … & Fn & B). Т. е. заключение B является логическим следствием посылок F1; F2; … Fn т. и только т., когда формула теоремы (F1 & F2 & … & Fn & B) противоречива, т. е. имеет значение false. Сведения доказательства теоремы к противоречию на формуле, представленной в КНФ, составляет основу принципа резолюции.
Для вывода по принципу резолюции необходимо:
допустить отрицание заключения, т. е. B (известный способ доказательства от противного);
привести все формулы (посылки и заключение) к КНФ;
выписать множество дизъюнктов S = {D1; D2; … Dk};
выполнить анализ всех пар множества S по правилу: “если существуют контрарные пары, один элемент которой Di содержит литеру A, а другой элемент Dj – A, то соединить эту пару логической связкой дизъюнкции (Di Dj), исключив контрарные литеры A и A: в результате этой операции получен новый дизъюнкт – резольвента, которую нужно включить в множество исходных дизъюнктов (п. 3); продолжая процедуру соединения дизъюнкт, устранить все контрарные пары; если в результате соединения всех дизъюнктов и резольвент будет получена пустая резольвента - , то вывод окончен и доказательство подтвердило противоречие.