47. Теорема Умова-Пойнтинга для мгновенных значений

Эта теорема описывает энергетические соотношения в электромагнитном поле. Она имеет две формы записи – для мгновенных значений и комплексную (для синусоидально изменяющихся величин).

Согласно I и II уравнениям Максвелла

(18.1)

Первое уравнение умножим на – , а второе – на .

Просуммируем их

Левая часть уравнения представляет собой дивергенцию векторного произведения напряженностей электрического и магнитного полей

(18.2)

Проинтегрируем это уравнение по объему

(18.3)*

По теореме Остроградского-Гаусса

(18.4)

Если выразить индукции D и H через напряженности , , то второе слагаемое уравнения (18.3)* запишется

Тогда

(18.5)

Это уравнение представляет собой уравнение баланса энергии.

Векторное произведение обозначают и называют вектором Пойнтинга.

Первое слагаемое показывает, какая энергия выделяется в данном объеме в виде тепла, второе – энергию сторонних сил, третье – изменение электрической и магнитной энергией.

Векторы , и образуют правую тройку векторов (рис. 18.1).

Вектор Пойнтинга характеризует плотность потока энергии и направление ее перемещения.

48. Передача энергии по коаксиальному кабелю

На рис. 18.2 показан отрезок коаксиального кабеля и расположенные относительно него составляющие электромагнитного поля.

Определим проекции вектора Пойтинга в цилиндрической системе координат, так как вектор напряженности магнитного поля ориентирован по касательной к цилиндрическому проводнику с током, т.е. в цилиндрической системе координат имеет составляющую только , то вектор Пойнтинга не будет иметь такой проекции.

Напряженность электрического поля в диэлектрике определяется зарядом и током

Следовательно, на поверхности жилы

.

По закону полного тока

Тогда

(18.6)

Из формулы видно, что плотность потока энергии имеет наибольшее значение вблизи жилы.

(18.7)

З а пределами кабеля магнитного поля нет (Н = 0).

В пределах оболочки нет радиальной составляющей вектора поля, следовательно, нет потока.

Рис. 18.3. Определение плотности потока энергии

Угловая и радиальная составляющие напряженностей имеются только в кольцевом сечении диэлектрика.

Следовательно, энергия в осевом направлении передается по зазору в кабеле, а проводники служат как направляющие для потока.

Радиальная составляющая вектора Пойнтинга на поверхности жилы

(18.8)

Полагая, что плотность потока энергии на поверхности жилы одинакова, найдем энергию

(18.9)

т.к.

Следовательно, радиальная составляющая вектора Пойнтинга определяет потери энергии в проводнике при протекании по нему тока.

49. Плоская электромагнитная волна

Волна называется плоской, если поверхности равных фаз представляют собой плоскость, т.е. в плоской электромагнитной волне векторы и расположены в плоскости хода, перпендикулярно направлению распространения волны.

О днородной плоской волной называется волна, в которой при соответствующем выборе осей координат векторы и зависят только от одной координаты и времени (рис. 18.3)

Если векторы и изменяются по синусоидальному закону, то волна называется гармонической или монохроматической.

По определению плоской волны:

В плоской волне и являются функциями только одной координаты – z. Из системы уравнений (18.12) для синусоидальных функций в комплексной форме записи получается:

(18.14)

Решение линейного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

(18.15)

где C₁ и C₂ – постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий.

Характеристическое уравнение: .

Откуда .

Величина p называется постоянной распространения и измеряется в .

Так как , то

(18.16)

Найдем напряженность электрического поля:

(18.17)v

где

Выражение (18.17)v показывает, что напряженность электрического поля в плоской волне при выбранном расположении осей координат направлена вдоль оси х, т.е. между E и H есть пространственный сдвиг в 90^o.

Частное от деления p на  называют волновым сопротивлением

(18.18)

Волновое сопротивление , измеряемое в Омах, зависит от свойств среды (от  и ) и угловой частоты .

Проекция вектора E на ось х равна

.

Проекция вектора H на ось y

Н а рис. 18.4. показаны векторы падающей (а) и отраженной (б) волн электромагнитного поля.

Компоненты падающей волны E_пад и H_пад дают вектор Пойнтинга П_пад (рис. 18.4а), направленный по положительной оси z. Следовательно, движение энергии падающей волны происходит вдоль положительного направления оси z. Соответственно отраженная волна на рис. 18.4б несет свою энергию вдоль отрицательного направления оси z.

Волновое сопротивление Z_C можно трактовать как отношение . Так как волновое сопротивление является числом и имеет аргумент 45^о, то сдвиг во времени между и для одной и той же точки поля равен 45^о.