20. Закон электомагнитной индукций в интегральной форме

Закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме:

Принцип непрерывности магнитного потока

   

Этот принцип определяет, что линии магнитной индукции непрерывны (магнитное поле не имеет ни стоков, ни истоков). Линии магнитной индукции – линии проведенные (построенные) в магнитном поле так, что в каждой их точке касательные совпадают по направлению с вектором .

Рассмотрим один из простых и наглядных примеров. На рис.1.5 представлен прямолинейный провод круглого сечения, ток i в котором направлен от наблюдателя. Линии магнитной индукции – концентрические окружности с центром на оси провода. Направление линий связано с направлением тока правилом правого винта.

Рис.1.5

Источниками магнитных полей являются электрические токи.

Принцип непрерывности магнитного потока математически записывается так:

                                                  

магнитный поток сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю

21. Частный случай электромагнитного поля — электростатическое поле — дает один из простейших и важнейших примеров векторного поля (трёхмерным векторным полем, не зависящим от времени, в электростатике является напряжённость электрического поля).

22. Основными величинами, характеризующими электростатическое поле, являются напряженность и потенциал .

Понятие потенциала связано с работой, совершаемой силами поля при перемещении заряда:

(15.2)

Разность потенциалов между исходной и конечной точками пути (точками 1 и 2) зависит только от положения этих точек и не зависит от пути, по которому определялась разность потенциалов. Если пройти по замкнутому пути, то исходная и конечная точки совпадут, т.е.

(15.3)

Циркуляция вектора вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

Это основное свойство электростатического поля. Такое поле носит название потенциального. Потенциальными также являются гравитационное поле, установившиеся температурные поля и др.

Модуль вектора напряженности поля E = –d/dn.

Вектор напряженности можно записать, как . Тогда

(15.5)

Напряженность в какой-либо точке поля равна скорости изменения потенциала в этой точке, взятой с обратным знаком.

Теорема Гаусса в интегральной форме

Формулируется тремя способами:

1. Поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность, окружающую некоторый объем, равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности

(15.11)

2. Так как , то теорему Гаусса для однородной и изотропной среды можно записать:

(15.12)

3. Поток вектора через любую замкнутую поверхность создается не только суммой свободных зарядов, но и суммой связанных зарядов

. (15.13)

23. Под граничными условиями понимают условия, которым подчиняется поле на границах раздела сред с различными электрическими свойствами.

При интегрировании уравнения Лапласа (или Пуассона) в решение входят постоянные интегрирования. Их определяют из граничных условий.

В проводящем теле, находящемся в магнитном поле, вследствие явления электростатической индукции происходит разделение зарядов (рис. 15.5).

Рис. 15.5. разделение зарядов в проводящем теле

Все точки тела будут иметь один и тот же потенциал (иначе появилось бы упорядоченное движение зарядов). Поверхность тела эквипотенциальна. Вектор напряженности внешнего поля в любой точке поверхности подходит к ней под прямым углом. Внутри проводящего тела напряженность равна нулю, так как внешнее поле компенсируется полем зарядов, расположившихся на поверхности тела.

23. На границе раздела проводящего тела и диэлектрика при отсутствии тока по проводящему телу выполняются два условия:

1. Отсутствует тангенциальная (касательная к поверхности) составляющая напряженности поля

(15.21)

2. Вектор электрического смещения в любой точке диэлектрика, непосредственно примыкающей к поверхности проводящего тела, численно равен плотности заряда  на поверхности проводящего тела в этой точке:

(15.22)

На границе раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями выполняются следующие условия:

1. Тангенциальные составляющие напряженности поля равны:

E_t1 = E_t2. (15.23)

2. Нормальные составляющие электрической индукции равны:

D_n1 = D_n2. (15.24)

Уравнения Лапласа и Пуассона являются уравнениями в частных производных, которые в общем случае имеют множество линейно независимых друг от друга решений. Выбор единственного решения, удовлетворяющего конкретной задаче, производят с помощью граничных условий.

27. Поле заряженной оси

Под заряженной осью понимают тонкий, теоретически бесконечно длинный металлический проводник.

Под линейной плотностью заряда  понимают заряд, приходящийся на единицу длины оси.

Пусть диэлектрическая проницаемость окружающей среды равна _a.

Для нахождения напряженности поля в некоторой точке, удаленной на расстояние r от оси, проведем через точку цилиндрическую поверхность так, чтобы ее ось совпала с заряженной осью (рис. 15.6).

Рис. 15.6. К определению поля заряженной оси

Используем теорему Гаусса, которая применима к замкнутой поверхности (боковая поверхность цилиндра и два его основания). Поток вектора имеется только через боковую поверхность. Направление и на боковой поверхности в каждой точке совпадают, поэтому

или

(15.25)

Напряженность в поле заряженной оси изменяется обратно пропорционально расстоянию r точки от оси.

(15.26)

Потенциал изменяется по экспоненциальному закону.

28.Электрическая емкость определяется как отношение заряда к разности потенциалов между телами. Рассчитаем емкость двух соосных цилиндров (рис. 15.7).

Рис. 15.7. Разрез двух соосных цилиндров

Напряжение между поверхностями цилиндров

.

Емкость цилиндрического конденсатора будет равна

(15.27)

29. Поле двух параллельных заряженных осей

Пусть одна ось имеет линейный заряд + , а другая – - . Возьмем в поле некоторую произвольную точку М (рис. 15.8).

Результирующая напряженность поля в точке М равна геометрической сумме напряженностей от обоих зарядов. Потенциал – функция скалярная, и он равен сумме потенциалов от каждой оси

(15.28)

У равнением эквипотенциали в поле двух заряженных осей является выражение b/a = const, т.е. эквипотенциаль представляет собой совокупность точек, отношение расстояний которых до двух заданных точек есть величина постоянная. Из геометрии известно, что такой совокупностью точек является окружность. Для ее построения соединим точку М с осями. Проведем биссектрису внутреннего (aMb) и внешнего (pMa) углов. Точки 1 и 2 пересечения биссектрис с линией, проведенной через заряженные оси, и точка М будут тремя точками окружности. Для нахождения положения центра окружности (точки О) разделим пополам расстояние между точками 1 и 2.

Рис. 15.8. Поле двух заряженных осей

30. Рассмотрим поле двухпроводной линии (рис. 15.9).

Заряды проводов по поверхности распределены с неодинаковой плотностью.

Задача о поле двухпроводной линии может быть сведена к задаче о поле двух заряженных осей.

Пусть заряженные оси будут расположены в точках m и n. Из условия симметрии они удалены на одинаковое расстояние x от геометрических осей проводов О₂ и О₁.

Для точки 1 отношение b/a будет , для точки 2 – .

Из равенства получим . (15.29)

Знак минус перед радикалом соответствует положению точки n, знак плюс – точке m. Точки m и n называют электрическими осями проводов. Их можно получить геометрическим построением. Проводится линия, параллельная линии, соединяющей оси проводов и касательная к поверхности проводов. Через точки касания поводится окружность диаметром d. Пересечение этой окружности с линией соединяющей оси проводов даст положение электрических осей. Определим емкость двухпроводной линии

;

;

;

.