Математическая модель внезапного отказа

М атематическое описание модели внезапного отказа рассмотрим на примере, который характерен для случая нарушения механической прочности элемента конструкции. Эле­мент обладает определённой меха­нической прочностью s_п , что обеспечивает его рабо­то­спо­собность при воздей­ствии ме­ха­нических нагрузок s(t), не превы­шающих вели­чину пре­дела проч­ности, как показано на рис.5.1.

Рис. 5.1. Модель внезапного отказа

Механическая на­грузка, воздействующая на эле­мент, случайна, т.е. связи между значениями такой на­грузки с те­чением времени не наблю­дается. Среднее значе­ние воз­действую­щих на элемент ме­ханических на­грузок намного меньше предельно допусти­мого значения s_п , которое во время эксплуатации остается неизменным ( s_п= const ). Пи­ко­вые экстремальные на­грузки, приводящие к по­вреж­дению элемента, воз­никают случай­но и невозможно од­но­значно предсказать мо­мент (t=t) их появления.

Разделим пери­од рассматриваемого проме­жутка времени на одинако­вые ин­терва­лы Dt и предпо­ложим, что веро­ятность по­явления пиковой раз­рушаю­щей на­груз­ки в каждый мо­мент времени одинакова. В самом деле, на рис. 5.1. пиковая нагрузка на конструкцию показана в момент . Но, такой же точно выброс нагрузки может наблюдаться в любой момент времени. Это следует из особенностей слу­чай­ного про­цесса нагруже­ния. Поэтому очевид­но, что слу­чайные события появ­ления пиковой нагруз­ки на каждом ин­терва­ле времени Dt можно считать равно­веро­ятными. Физи­че­ски это означает, что среднее число повре­ждений (отказов) эле­мента в любом интер­вале бу­дет оставаться постоянным.

Ранее мы установили, что величина, характеризующая ко­личество отказов в вы­бранном интервале времени, если до этого интервала деталь работала безот­казно, на­зывается интенсивно­стью от­казов l. В рассматривае­мой нами си­туации величина l ос­таётся постоянной.

Рис. 5.2. Экспоненциальный закон распределения

Такому условию соответствует экспоненциальный закон рас­пределения времени работы детали до отказа, кото­рый и при­нимается в качестве матема­тической модели (см. рис.5.2).

Плот­ность распределения вероятности отка­зов f(t), не связанная со старе­нием ма­териала, записывает­ся в виде:

f(t) = l exp ( - lt );

распределения вероятностей отказа F(t)

F(t) = 1 - exp ( - lt ) ;

распределения вероятностей безотказной работы Р(t)

Р(t) = exp ( - lt ) ;

математическое ожидание времени безотказной работы t_cp

t_cp = ;

интенсивность отказов l

Условие l = const - важная осо­бенность экспо­ненциального закона распре­де­ления. Оно означает, с од­ной стороны, что вероят­ность отказа не за­висит от того, сколько элемент работал раньше, так же как и остаточ­ное и время жизни элемента не зависит от предыду­щей на­работки. Но, с другой сто­роны, это усло­вие полно­стью ха­рак­теризует степень примени­мости экспоненци­альной моде­ли внезапных отказов. Она не может быть исполь­зована для элементов, в про­цессе эксплуатации которых проис­ходят необ­ратимые фи­зические и хими­ческие про­цессы износа и старения. Та­ким об­разом, это идеализи­рованная модель.

Поскольку на самом деле большинство элемен­тов с течением времени те­ряют свои первоначальные свой­ства, то в теории на­дежнос­ти предложены бо­лее реаль­ные схемы, хорошо описы­ваемые экспоненци­альным распределением. Так, на­при­мер, объекты мо­гут обеспечивать условие l = const не на протяжении всего срока службы, а в те­чение перио­да наработки после оконча­ния приработ­ки l₁ до мо­мента на­ступле­ния момента старения l₂ (см.рис.5.3). Если такие объекты уста­навливают для эксплуата­ции в техниче­ской сис­теме после периода при­ра­бот­ки и использу­ют только в тече­ние на­работки (l_2- l₁), то время безотказной работы таких объ­ектов при эксплуа­та­ции системы будет рас­пре­де­ляться по экспо­ненци­аль­ному закону.

Не менее часто в экс­плуатации возникает ситуа­ция, когда прочностные свойст­ва объекта с течением времени снижаются. Если такое снижение проч­ност­ных свойств элемента происходит за дос­та­точно малый промежу­ток времени, то закон рас­пре­деления по форме меня­ет­ся. Описанная выше си­туация представлена на рис.5.3.

До момента време­ни t₀ s_п >s_(t)_max и вероят­ность отказа достаточно мала. В проме­жуток времени (t_{0 -} t₁) про­изошло сни­жение прочно­стных свойств до уровня s_п = s_п1, при ко­тором стано­вит­ся ощутимой вероят­ность повреждения объекта пиками на­грузки s(t)_max.

Рис.5.3. Модель мгновенных отказов с порогом чувствитель­нос­ти

З акон распределения, соответствующий этой модели, записывается в виде:

f (t) = l exp [- l (t - t₁ )] при t ³ t_1. (2.6)

Этот двухпараметрический закон ( l ; t₁ ) носит название экспоненциального с порогом чувствительности, поскольку параметр t₁ характеризует некоторый «порог», до которого объект «не чув­ствует» нагрузки. И последнее замеча­ние, касающееся рас­смат­риваемой мо­дели отка­за. Поскольку прочностные свойства изделий принима­ются неиз­менными и отказ может произойти в любой момент времени, то замена ста­рого ещё не отказавшего элемента но­вым не уменьшит ве­роятности отказа. По­выше­ния надёжно­сти в этом слу­чае можно достигнуть только путём увели­чения прочностных свойств изде­лия или снижением уровня максимальных значений на­грузки s (t), при неизмен­ном значе­нии s_п.

Пример. В результа­те испытания десяти топливных насосов получены величи­ны наработки их до отказа: 400; 440; 500; 600; 670; 700; 800; 1200; 1600; 1800 ч. Пола­гая, что наработка до отказа топ­ливных насосов подчиняется экспоненциальному зако­ну распределения, необходи­мо оценить величину интенсивности отказов l, а также рас­считать вероятность безот­казной работы за первые 500 ч и вероятность появления отка­за в промежутке времени между 800 и 900 ч работы дизеля.

Находим величину средней наработки насосов до отказа

t_ср=

t_ср = 551ч.

Затем рассчитываем величину интенсивности отказов l

ч.

Величина вероятности безотказной работы насосов при наработке 500 ч

Р(500) = exp (- lt) = exp (- 1,81×10^-3× 500) = 0,403.

Вероятность появления отказов в промежутке между t₁ = 800 ч и t₂ = 900 ч ра­боты насосов составит

P t₁ < t < t₂ = F(t₂) - F(t₁) = [ 1 - exp ( - lt₂)] - [ 1 - exp ( - lt₁)]=

= [ 1 - exp( -1,81×10^-3×900)] - [ 1 - exp( -1,81×10^-3×800)] =

= 0,804 - 0,766 = 0,0388.