4. Классическое определение вероятности как мера благоприятных исходов эксперимента. Простейшие свойства вероятности.

Вероятность – это численная мера объективной возможности появления случайного события.

Т еория вероятностей дает способ нахождения численного значения вероятности события:

А – некоторое событие,

m – количество исходов, при которых событие А появляется,

n – конечное число равновозможных исходов.

P – обозначение происходит от первой буквы французского слова probabilite – вероятность.

Пример: В школе 1300 человек, из них 5 человек хулиганы.

Какова вероятность того, что один из них попадётся директору на глаза?

Вероятность: P(A) = 5/1300 = 1/250.

Простейшие свойства:

Свойство 1. Если все случаи являются благоприятствующими данному событию А, то это событие обязательно произойдет. Следовательно, рассматриваемое событие является достоверным, а вероятность его появления Р {A} = 1, так как в этом случае m=n:

Свойство 2. Если нет ни одного случая, благоприятствующего данному событию A, то это событие в результате опыта произойти не может. Следовательно, рассматриваемое событие является невозможным, а вероятность его появления P{A}=0, так как в этом случае m=0:

Свойство 3. Вероятность наступления событий, образующих полную группу, равна единице.

Свойство 4. Вероятность наступления противоположного события Ᾱ определяется так же, как и вероятность наступления, события A:

Где (m-n) — число случаев, благоприятствующих появлению противоположного события Ᾱ. Отсюда вероятность наступления противоположного события Ᾱ равна разнице между единицей и вероятностью наступления события A:

Важное достоинство классического определения вероятности события состоит в том, что с его помощью вероятность события можно определить, не прибегая к опыту, а исходя из логических рассуждений.

5. Вычисление упорядоченных выборок без повторений. Привести пример.

Если из множества предметов выбирается некоторое подмножество, то его называют выборкой. Выборки бывают упорядоченные и неупорядоченные.

В упорядоченной выборке существенен порядок, в котором следуют ее элементы, другими словами, изменив порядок элементов, мы получим другую выборку.

Пример. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 можно составить следующие трехзначные числа 123, 431, 524, ...и т.д. Это упорядоченные трехэлементные выборки, так как 123 и 132 - разные числа.

Упорядоченная (n, k)-выборка без возвращений называется (n, k)-размещением без повторений или просто (n, k)-размещением и обозначается .

Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие размещения из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получиться, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буквы могут повторяться?

Решение.

Получатся следующие наборы: БА, БР, АР, АБ, РБ, РА.

По формуле получаем: наборов.

6. Вычисление упорядоченных выборок с повторениями (с возвращением). Привести пример.

Выборка называется упорядоченной, если задан порядок следования элементов в ней. Две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком следования элементов, считаются различными.

Если элемент после выбора снова возвращается в множество X, то выборку называют выборкой с возвращением. Если же выбранный элемент не участвует в дальнейшем выборе, то выборку называют выборкой без возвращения.

Упорядоченная (n, k)-выборка с возвращением называется (n, k)-размещением с повторениями и обозначается . С возвращение:

Пример. Вдоль дороги стоят 6 светофоров. Сколько может быть различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет 3 состояния: "красный", "желтый", "зеленый"?

Решение. Выпишем несколько комбинаций: КККЖЗЗ, ЗЗЗЗЗЗ, КЖЗКЖЗ... Мы видим, что состав выборки меняется и порядок элементов существенен (ведь если, например, в выборке КЖЗКЖЗ поменять местами К и Ж, ситуация на дороге будет другой). Вычисляем число размещений с повторениями из 3 по 6, получаем комбинаций.