7. Вычисление неупорядоченных выборок без повторений. Привести пример.

Если порядок следования элементов в выборке не является существенным, то такая выборка называется неупорядоченной. В выборках могут допускаться или не допускаться повторения элементов.

Если элемент после выбора снова возвращается в множество X, то выборку называют выборкой с возвращением. Если же выбранный элемент не участвует в дальнейшем выборе, то выборку называют выборкой без возвращения.

Неупорядоченная (n, k)-выборка без возвращения называется (n, k)-сочетанием без повторений или просто (n, k)-сочетанием и обозначается .

Без возвращения: .

Пример: Записать все сочетания без повторений объемом два, которые можно составить из элементов множества { 1, 2, 3 }.

Согласно формуле число всех сочетаний будет равно С²₃ =(3*2)/(1*2)= 3.

Это будут следующие сочетания ( 1,2 ), ( 1,3 ), ( 2,3 ).

Сколькими способами можно разложить 5 выигрышных билетов по 10 коробкам? Все выигрышные билеты считаются одинаковыми. Поскольку порядок расположения билетов в коробках не имеет значения (выборки неупорядоченные), а сами билеты могут повторяться (т.е. в одной коробке может быть несколько выигрышных билетов), распределить билеты по коробкам можно

способами.

Замечание к примеру. Если в условии данной задачи наложить еще одно ограничение: в каждой коробке – не более одного выигрышного билета, то комбинаторная схема будет иной (сочетания без повторений):

.

8. Вычисление неупорядоченных выборок с повторениями (с возвращением). Привести пример.

Если элемент после выбора снова возвращается в множество X, то выборку называют выборкой с возвращением. Если же выбранный элемент не участвует в дальнейшем выборе, то выборку называют выборкой без возвращения.

Неупорядоченная (n, k)-выборка с возвращением называется (n, k)-сочетанием с повторениями и обозначается .

Пример: В магазине продаются воздушные шары 7 цветов. Игорь решил купить

для праздника 3 шара. Сколькими способами Игорь может выбрать шары, если ему все равно, будут они отличаться по цвету или нет?

Игорь может купить 2 или 3 шара одного цвета. Значит, каждый выбор Игоря можно интерпретировать как неупорядоченную выборку с повторениями из 7 цветов по 3, т.е. сочетание с повторениями из 7 по 3. Число таких сочетаний С³₇=С³_7+3-1=С³₉=9!/3!6=84.

Сколькими способами можно разложить 5 выигрышных билетов по 10 коробкам? Все выигрышные билеты считаются одинаковыми. Поскольку порядок расположения билетов в коробках не имеет значения (выборки неупорядоченные), а сами билеты могут повторяться (т.е. в одной коробке может быть несколько выигрышных билетов), распределить билеты по коробкам можно

способами.

Замечание к примеру. Если в условии данной задачи наложить еще одно ограничение: в каждой коробке – не более одного выигрышного билета, то комбинаторная схема будет иной (сочетания без повторений):

.

9. Геометрическая вероятность. Привести примеры.

Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества Ω точек на прямой или плоскости — это отношение площади фигуры A к площади всего множества Ω: .

Задача: Мишень имеет форму окружности радиуса 4. Какова вероятность попадания в ее правую половину, если попадание в любую точку мишени равновероятно? При этом промахи мимо мишени исключены.

Решение:

Взглянем на картинку: нас устроит любая точка из правого полукруга. Очевидно, площадь S(A) этого полукруга составляет ровно половину площади всего круга, поэтому имеем: .

Ответ: 0,5.