4. Интегрирование по частям, неопределенный интеграл. Самоприводящиеся интегралы.

Совокупность всех первообразных F(x)+c для данной функции f(x) на некотором промежутке Х называется неопределенным интегралом от ф-ции f(x) на этом промежутке; обозн-тся

Этот метод является обращением правила дифференцирования произведения двух ф-ций.

Если ф-ции U(x) и V(x) дифференцируемы, то дифференциал их произведения равен:

d(UV)=UdV+VdU ; - формула интегрирования по частям.

*произвольную постоянную С указываем в окончательном решении интеграла.

- Заданное подынтегральное выражение f(x)dx представлено в виде UdV.

- f(x)dx представляем в виде произведения 2х сомножителей U и dV (сначала устанавливаем, какая ф-ция принимается в кач-ве U. Оставшаяся часть выражения будет относиться к дифференциалу dV, причем dx должен входить в состав dV).

- Затем дифференцируем U (надо найти dU), а интегрируем dV (надо определить V). - Имея значение U и dV, можно приступать к вычислению интегралов.

- Рекомендации по выбору: а) U – степенная или алгебраическая ф-ция, dV – показательная или тригонометрическая; б) U –логарифмическая или обратная тригонометрическая, dV – степенная или алгебраическая.

*встречаются случаи, когда интегрирования по частям следует применять последовательно, 2 раза и больше.

* в некоторых случаях интегрирование по частям приводит к выражению, содержащему исходный интеграл. Такие интегралы – самоприводящиеся.

5. Приведение рациональных дробей к простейшим.

- Пусть P(x) и Qx – многочлены; тогда дробь называется рациональной дробью.

- Рациональная дробь правильная, если степень числителя меньше степень знаменателя. В противоположном случае она – неправильная.

- Р.Д. может быть представлена в виде простейших дробей: 1) ; 2) ; 3) ; 4) - где А, В, a, p, q – действительные числа, n – натуральное число. имеет комплексные корни, т.е. не раскладывается на действительные множители. Простейшие дроби интегрируются в элементарных функциях. Для определения коэффициентов в числителях тех простейших дробей, на которые разлагается данная РД: 1) способ задания частных значений; 2) способ неопределенных коэффициентов.

6. Интегрирование рациональных дробей.

Т.к. неправильную РД представляем в виде многочлена и правильной РД, правильную РД всегда можно представить в виде суммы простейших дробей, то интегрирование РД в общем виде сводится к интегрированию многочленов и простейших дробей, которые всегда интегрируются в элементарных функциях.

Пример: дробь алгебраически приводится к виду: =

1. (потому что производная знаменателя – это числитель)

2. Для инт-ния второй дроби получим в знаменателе полный квадрат (с х).

.

3. Если не больше 0, то корни квадратичного трехчлена действительны. .

4. Получили интеграл вида . Табличный интеграл вида

7. Интегрирование иррациональных алгебраических выражений (R(x^α, x^β, x^ˠ…)

За исключением частных случаев, иррациональные алгебраические выражения не интегрируются в элементарных ф-циях. Необходимо избавляться от иррациональности.

- α, β, ˠ - дробные рациональные числа; n – наим. Кратное знаменателей дробей α, β, ˠ.

- Интегралы этого вида приводятся к интегралам от рациональной функции подстановкой x=tⁿ: dx=nt^n-1dt

- Интеграл преобразуется к виду . При этом nα, nβ, nˠ - целые числа.

Пример: = 6

Решение:

1/3, 2/3, 1/2- наим. кратным знаменателей является 6.

X=t⁶; dx =6t⁵dt.

8. Интегрирование иррациональных алгебраических выражений R(x, ) и R(x, )

Один из способов – применение тригоном. подстановок, что позволяет получать подынтегральные выражения рациональные относительно тригон. ф-ций.

1 – ^*

*X = sin t (a cos t); = =a cos t ; dt = a cos t dt

Аналогично рассматриваем и случаи 2х других интегралов:

2 - ^* a

*X=a tg t (x=a ctg t); dx = ; (sec x = )

3- =^*

*x=a sec t (x=a cosec t); dx=a tg t sec t dt; cosec x=1 / sin x

9. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование тригонометрических функций с помощью подстановки.

1 - Интегрирование выражений sin^mx, cosⁿx; n,m – целые числа – положительные или отрицательные. Пусть хотя бы один из показателей степени нечетный; напр. n.

-cosⁿ x = cos^n-1 x*cos X; n-1 –четное число. *=

*произведем замену: sin x =t, cos x dx=dt. Получили интеграл от целой рациональной ф-ции, которая всегда берется в элементарных ф-циях.

- если показатели степеней m и n оба четные, то можно понизить показатели с помощью формул: ;

2 - (t = ): от – П до П.Эта подстановка всегда позволяет выразить sin x, cos x b dx рационально через переменную t. Иногда её называют универсальной.

; ; dx = (arctg t)’dt = ; ; x=2 arctg t

10. О пределенный интеграл, геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. - определенный интеграл: пусть от a до b задана непрерывная ф-ция (неотрицательная). Мы разделили промежуток на n произвольных по длине отрезков, назвали частичными. a<ˠ₁<ˠ_2… <b. Длина i-ого частичного отрезка через ΔX_i =X_i – X_i-1. На каждом частичном отрезке выбираем точку с абсциссой ˠ_i. Сумма произведений .

- Составили предел этой суммы (полагаем, что длина каждого отрезка уменьшается и → 0 и кол-во их увелич-ся и →∞. - этот предел называет определенным интегралом ф-ции f(x) на промежутке [a;b] и обозначается

- геометрический смысл определенного интеграла: фигура, ограниченная непрерывной кривой y=f(x) и кривыми линиями x=a, x-b, y=0 – криволинейная трапеция. Определенный интеграл непрерывной неотриц-й ф-ции при a<b = площади соответствующей криволин. трапеции. В общем случае интеграл представляет собой алгебраическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций, где площади трапеций располагающихся выше оси ОХ берутся со знаком +, а ниже – со знаком -.

- Формула Ньютона-Лейбница:

Более подробно о формуле – см. 11 билет.