- •Д ифференциал функции и дифференциал независимой переменной. Таблица производных, интегралов и их взаимосвязь.
- •Основные свойства неопределенного интеграла. Способ непосредственного интегрирования.
- •Метод замены переменной интегрирования.
- •Интегрирование по частям, неопределенный интеграл. Самоприводящиеся интегралы.
- •Приведение рациональных дробей к простейшим.
- •Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
- •Метод замены переменной интегрирования в определенном интеграле.
Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
а) свойства определенного интеграла: I. Свойства неопределенного интеграла распространяются и на определнный. II. 1) При перестановке пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный; 2) Если a и b равны, то определенный интеграл равен 0; 3) Если промежуток интегрирования [a;b] разбит на частичные промежутки, то определенный интеграл, взятый по [a;b] равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам; 4) Теорема о среднем. Определенный интеграл от непрерывной функции f(x) равен произведению длины промежутка [a;b] на значение ф-ции f(c), где С – некоторая точка, . Всегда можно подобрать такую точку С, чтобы SaABb=SaDEb. Среднее значение ф-ции f(x) на промежутке [a;b] = определенному интегралу от этой ф-ции, вычисленному в пределах от a до b и разделенному на длину этого промежутка.
б) Формула Ньютона-Лейбница: пусть F(x) – некоторая первообразная f(x). f(x)=F’(x) при .
a – Нижний предел интегрирования, b – верхний; [a;b] – промежуток интегрирования.
F(b)-F(a) – приращение первообразной ф-ции на промежутке [a;b]. F(b) – значение первообразной F(x) при x=b. F(a) – значение первообразной F(x) при x=a. F(x=b)+c-(F(x=a)+c)=F(b)-F(a); F(b)-F(a)=F(x) тоже формула Н-Л
; также – символ-вставка
Метод замены переменной интегрирования в определенном интеграле.
- Часто для упрощения вычисления интеграла приходится делать подстановку вида x=ϕ(t); ψ(x)=t; ψ(x)= ϕ(t). Интервал [α;β] соответствует интервалу [a;b]; ; ϕ(α)=a , ϕ(β)=b.
- При подстановке в определенный интеграл должны соблюдаться условия: f(x)
непрерывна на интервале [a;b]; ϕ(t) и ϕ’(t) непрерывны на интервале [α;β].
-Пределы интегрирования α и β находятся так: в подстановке x=ϕ(t) переменную х заменяем нижним пределом a и решаем уравнение ϕ(t)=аю Найденное значение T и будет новым нижним пределом α. Аналогично с β. После вычисления преобразованного определенного интеграла нет необходимости переходить к прежней переменной.
Метод интегрирования по частям для определенного интеграла. Самоприводящиеся интегралы.
UV’=(UV)’-VU’
; U=U(x); V=V(x); Интегрирование производится по переменной x, а не по U и V.
Например:
Самоприводящиеся интегралы: см. 4 билет и формулы в табл. интегралов (№16,17,18 в лекциях).
Вычисление площади плоской фигуры в прямоугольных координатах.
Известно, что значение определенного интеграла равно площади криволинейной трапеции, соответствующей этому интегралу.
Пример: найти площадь фигуры-эллипса с полуосями a и b.
- S эллипса=4Soba; каноническое уравнение эллипса: ; .
y= + ; Soba= (данный интеграл уже вычисляли, он равен . Soba= ; Sэллипса =Пab;
- для круга a=b=R; Sкруга=ПR2
Рассмотрим фигуру, ограниченную линиями сверху y=f(x)>0, снизу y=φ(x)>0, слева x=a, справа x=b.
Sabcd=SaBCb-SaADb= (эта формула справедлива и для остальных случаев).
Несобственные интегралы от непрерывных функций по бесконечному промежутку интегрирования.
Несобственные интегралы от неограниченных функций. Промежуток интегрирования конечен (билет делать не надо).
Случайные явления. Предмет – теория вероятностей. Классификация случайных событий. Классическое определение вероятностей.
Сумма и произведение событий.
Вероятность суммы несовместных событий.
Вероятность произведения независимых событий.
Вероятность произведения зависимых событий.
Вероятность гипотез. Формула полной вероятности.
Формула Бейеса (формула гипотез).