31. Идентификация статических математических моделей при разработке систем управления.

Схема решения задачи:

1. Проверка предпосылок.

2. Структура ММ

3. Планирование эксперимента

4. Проведение эксперимента

5. Обработка результатов эксперимента (метод наименьших квадратов)

6. Анализ ММ

7. Если требуется, коррекция ММ (переход к пункту 2)

8. И спользование ММ

1) y – функция отклика,

ОУ – объект управления

х (х₁,…, х_n) – факторы.

Условия применения методов планирования: х_i – независимы друг от друга; относительная точность задания всех переменных должна быть существенно выше, чем точность измерения y; N (количество экспериментов) должно быть больше p (количество определяемых параметров ММ).

2) Структура ММ м.б. представлена следующими основными типами моделей: линейная модель, квадратичная модель, полиномы более высокого уровня и нелинейные модели, отличные от полинома.

3) Планирование эксперимента выполняется в виде следующей таблицы:

4) Анализ ММ: проверка адекватности модели и анализ значимости входных параметров.

Для проверки адекватности линейных и квадратичных ММ используют следующий критерий: считается остаточная дисперсия: , где ν = N – p – кол-во степеней свободы, N>p, y_i – измерение функции y, – значения, полученные с помощью ММ.

Для линейных и квадратичных ММ используется критерий адекватности:

, где S_y² – дисперсия воспроизводимости эксперимента, α – уровень значимости (α = 0,05) – вероятность совершения ошибки при принятии гипотезы (вероятность того, что модель будет отвергнута, если она справедлива).

32. Планы первого и второго порядка. Критерии оптимальности планов.

Планы 1-го порядка

Предназначены для решения задач идентификации линейных статических моделей.

Пусть имеется фактор: x=(x₁,x₂…x_k), и пусть x_i – изменяется в пределах: x_i  [min x_i, max x_i]

Вводится система кодирования величин (для перехода к безразмерным величинам).

Если x_i=max xi, то , если x_i=min xi, то .

Критерии планирования

1. Критерий ортогонального плана

X^TX – диагональная матрица для ортогональных планов.

2. Критерий D-оптимальности:

Наивысшая точность оценок (дисперсии) для параметров модели в случае нормального распределения ошибок измерения y.

3. Критерий ротатабельности

Ошибка в определении по модели зависит только от расстояния от начала координат.

Критерии 1) и 2) отвечают ПФЭ (полный факторный эксперимент). Количество в ПФЭ N=2^K, K – количество x_i факторов.

Пример ПФЭ для K=3.

ПФЭ

N
1	+1	+1	+1
2	-1	+1	+1
3	+1	-1	+1
4	-1	-1	+1
5	+1	+1	-1
6	-1	+1	-1
7	+1	-1	-1
8	-1	-1	-1

Если K – велико, то можно существенно сэкономить, используя дробные реплики от ПФЭ и количество планов в дробной реплике N=2^K-l. Если l=1 – полуреплика, l=2 – четвертьреплика и т. д.

l – дробность реплики.

Для Л=5 ДФЭ N=2^K-2 (l=2) = 2³ = 8

ДФЭ

N
1	+1	+1	+1	+1	+1
2	-1	+1	+1	-1	+1
3	+1	-1	+1	-1	-1
4	-1	-1	+1	+1	-1
5	+1	+1	-1	+1	-1
6	-1	+1	-1	-1	-1
7	+1	-1	-1	-1	+1
8	-1	-1	-1	+1	+1

Генератор плана:

Планы 2-го порядка

Предназначены для задач с квадратичной ММ.

- величина звёздного плана

ОЦКП – ортогональный центральный композиционный комплексный план

N_o=1;

=1 – план 2-го порядка D-оптипизации.

РЦКП – рототабельный центральный композиционный комплексный план

K	2	3	4	5
	0.93	0.86	0.86	0.88

Даёт одинаковую ошибку не только на одном и том же расстоянии, но и в некоторой области радиуса R=1