5. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем (тема 6 )

   1. Розв’язати задачу нелінійного програмування геометричним способом.

5.1.1 Розв’язати графічним методом задачу нелінійного програмування; знайти глобальні екстремуми:

а)

б)

2. Розв’язати задачу нелінійного програмування методом множників Лагранжа.

5.2.1 Визначити точку та характер умовного екстремуму функції за методом множників Лагранжа. Варіанти завдань

1 ,	2 ,	3 ,
4 ,	5 ,	6 ,
7 ,	8 ,	9 ,
10 ,	11 ,	12 ,
13 ,	14 ,	15 ,
16 ,	17 ,	18 ,
19 ,	20 ,	21 ,
22 ,	23 ,	24 ,
25 ,	26 ,	27 ,
28 ,	29 ,	30 ,
31 ,	32 , .	33 ,
34 ,	35 ,	36 ,
37 ,	38 ,	39 ,
40 ,	41 ,	42 ,
43 ,	44 ,	45 ,
46 ,	47 ,	48 ,
49 ,	50 ,	51 ,

3. Розв’язати задачу нелінійного програмування, застосовуючи теорему Куна-Таккера.

5.3.3 Користуючись теоремою Куна-Таккера, скласти функцію Лагранжа та записати необхідні і достатні умови існування сідлової точки наступної задачі нелінійного програмування:

4. Розв’язати задачу квадратичного програмування.

5.4.1 Розв’язати задачу опуклого програмування. Варіанти завдань

1 Z = -x1-2x2+x^22 (min); 3x1 + 2x2 ≤ 6; x1 + 2x2 ≤ 4; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.	2 Z=x^21+x^22 -6x1 (min); 3x1 + 2x2 = 6; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.	3 Z=3x1+3x2- x^21-3x^22 (max); 3x1 + x2 = 16; -x1 + 3x2 = 4; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
4 Z =2x1x2 -x^21 -x^22 (max); 2x1 - x2 ≤ 6; x1 + 2x2 ≤ 10 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.	5 Z=x^21+x^22-6x1-4x2 (min); x1 + 2x2 ≤ 12; 2x1 + x2 ≤ 6; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3≥ 0.	6 Z=2x1x2 + x1 - x^22 (max); x1 + x2 = 8; x1 + x2 = 40 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
7 Z = (x1+x2+x3)^2→min; x1 ≤ 2; x2 ≤ 4; x3 ≤ 6 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3≥ 0.	8 Z=x1-x^22+2x2-x^23 (max); x1 +2x2 - x3 = 6; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3≥ 0.	9 Z=x^21+2x^22-2x1x2+5x1-6x2 (min); 2x1 + 3x2 ≤ 8; x1 + 3x2 ≤ 15; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
10 Z=2x^21+2x^22-3x1x2+5x1-6x2 (min); x1 - x2 ≥ 6; 2x1 + x2 ≥ 15; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.	11 Z=x^21+2x^22-2x1x2+5x1-6x2 (min); x1 + 3x2 ≤ 12; x1 + x2 ≤ 6; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.	12 Z=4x^21+2x^22-6x1x2+5x1-3x2 (min); x1 - 2x2 ≥ 6; 5x1 + 3x2 ≥ 15; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
13 Z=x^21+2x^22-2x1x2+5x1 (min); 2x1 - 3x2 ≤ 15; x1 + 2x2 ≥ 10; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.	14 Z = 3x1 +4x2 - x^21- x^22 (max); x1 + 2x2 ≤ 20; x1 + x2 ≥ 8; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.	15 Z = x1 +2x2 - x^21- x^22 (max); x1 + 2x2 ≤ 16; x1 + x2 = 8; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
16 Z=5x1+2x2-x^21+2x1x2-x^22 (max); 2x1 + 3x2 ≤ 15; x1 + 2x2 =8; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.	17 Z=32x1+120x2-4x^21-3x^22 (max); 2x1 + 5x2 ≤ 20; 2x1 - x2 =8; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.	18 Z = x^21+ 2x^22 -2x1 - 4x2 (min); x1 + 2x2 ≤ 20; x1 + x2 ≥ 8; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
19	20	21
22 Відповідь: х*=(1;1).	23 Z=x1+4x2+x1x2-2x^21-2x^22 (max); x1 + 2x2 ≤ 12; 3x1 + x2 ≤ 15; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. Відповідь: х*=(8/15;17/15).	24 Z=-x^21-x^22-2x^23+2x2+3x3 (max); x1+x2+x3 ≤ 18; x1 +2x3 ≤ 14; x2 ≤ 12 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 . Відповідь: х*=(0;1;3/4).
25 Z=8x1+2x2+4x3-x^21-2x^23 (max); 2x1+x2-x3 ≤ 16; 3x2 +4x3 ≤ 20; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 .	26 Z=32x1+120x2-4x^21-15x^22 (max); 2x1 + 5x2 =20; 2x1 - x2 =8; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0,	27 Z=-x1-2x2+x^22 (min); 3x1 + 2x2 ≤ 6; x1 +2x2 ≤ 4; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
28 Z =-2х1+8х2 -x^21 -x^22 (max); x1 +2 x2 ≤ 12; -x1 + x2 ≥ -8 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. Відповідь: х*=(0;4).	29 Z=x1-x^22-2x1x3 (max); x1 + x2 = 8; x2 + x3 = 4; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.	30 Z=x1+8x2-x^21-x^22 (max); Відповідь: х*=(1/2;4).

5. Розв’язати задачу нелінійного програмування методом Франка-Вульфа.

5.5.1 Розв’язати градієнтним методом наступну задачу нелінійного програмування, почавши процес з точки :

.

5.5.2 Методом Франка-Вульфа знайти розв’язок задачі, що полягає у визначенні максимального значення функції з допустимою похибкою 0,01

_{за наступних умов}

Вихідний допустимий розв’язок взяти .

_{Відповідь: х*=(0,99528;0,96321).}

5.5.3 Підприємство виробляє два види продукції (А і В) і використовує на виробництво три види ресурсів: І, ІІ, ІІІ. Витрати ресурсів на виробництво одиниці кожного виду продукції подано в таблиці

Вид ресурсу	Вид продукції		Загальний обсяг ресурсу
	А	В
І	1	3	30
ІІ	1	1	15
ІІІ	5	2	60

Ціна реалізації одиниці продукції виду А становить 20 ум. од., проте прибуток залежить від витрат на виробництво, які пропорційні квадрату кількості виготовленої продукції. Аналогічно визначається прибуток для продукції виду В, ціна реалізації якої дорівнює 18 ум. од.

_{Відповідь: х*=(8; 7).}

5.5.4 На виробництво трьох видів продукції (A; B; C) використовують матеріальні, трудові та фінансові ресурси. Норми витрат цих ресурсів на одиницю продукції, їх запаси, а також формули визначення прибутку від реалізації одиниці продукції, що залежать від обсягів виробництва, наведено в таблиці

Вид ресурсу, показник	Продукція			Запас ресурсу
	А	В	С
Матеріальні	4	5	7		100
Трудові	3	6	8		120
Фінансові	2	1	4		75
Прибуток					–
Обсяг виробництва					–

П ередбачаючи, що попит на продукцію видів В і С відомий і становить 12 і 8 од., а ресурси необхідно використати повністю, визначте оптимальний план виробництва продукції кожного виду. Розрахуйте оцінки ресурсів і здійсніть економічний аналіз оптимального плану.