Гетероскедастичность и автокорреляция случайного члена.
В случае, когда имеющие статистические данные однородные, допущение о постоянстве дисперсий вполне оправданы. В другом случае, оно может быть неприемлемо.
у- расход потребителя, х – денежный доход
Выполнение 3-го условия Г.-М. гарантирует отсутствие автокорреляции случайного члена.
Если условие нарушается, то появляется автокорреляция, которая как правило, наблюдается во временных рядах.
Случайная компонента в уравнении регрессии подвергается воздействию переменных влияющих на у, которые не включены в модель.
Автокорреляция представляет тем большую проблему, чем меньше интервал м/у наблюдениями. Чем больше интервал, тем менее правдоподобно, что при переходе от одного наблюдения к другому будет сохранен характер влияния неучтенных факторов.
При + автокор мы имеем сначала несколько положительных значений U, а потом несколько отрицательных.
При – автокор мы имеем частые пересечения линии регрессии.
Автокорреляция 1-го порядка и критерий Дарбина-Уотсона.
Рассмотрим частный случай когда автокорреляция подчиняется авторегрессионной схеме 1го порядка (зависит от самой себя).
Ut=ρUt-1+ζt <= зависит от своего значения в предыдущем периоде (лаг =1)
Ρ – коэффициент корреляции м/у Ut и Ut-1
Если р=0, то автокорреляция отсутствует,
Если р не равно 0, то – присутствует
р<0, то отрицательная корреляция
р>0, то положительная корреляция
Мы не располагаем способом измерения случайной компоненты, поэтому не можем оценить регрессию непосредственно, мы можем оценить р, апроксимируя ряд случайного члена рядом остатков еt , и применяя МНК
Статистика Дарбина-Уотсона имеет вид:
Для больших выборок:
При d принимающем следующие значения, корреляция будет:
Критические значения d, при любом уровне значимости зависят от числа объясняющих переменных в уравнениях регрессии, от количества наблюдений в выборке, а также от конкретных значений объясняющих переменных, попавших в выборку, поэтому не возможно составить таблицу критических значений d статистики, для всех возможных выборок. Могут только лишь рассчитываться верхние и нижние границы d.
Для положительной корреляции верхней и нижней границы обычно обозначают dl и du.
Если мы точно знали критическое d, то могли бы сравнить с ним фактическое d и в случае, если фактическое значение больше критического, то мы отклоним гипотезу Н0 (р=0), и сделаем вывод о наличии положительной автокорреляции. В противном случае - нет оснований говорить о присутствии автокорреляции.
Но поскольку мы можем определить только верхнюю и нижнюю границу, то существует область неопределенности в которой мы не можем ни отклонить, ни применить, ни одну из гипотез и тогда всю область в статистике Дарбина-Уотсона можно разделить на несколько частей.
Недостаток: позволяет выявлять только автокорреляцию первого порядка и присутствуют зоны неопределенности.
Тест серий (критерий Бреуша-Годфри)
Основная идея: если имеется корреляция между соседними наблюдениями, то можно ожидать , что в уравнении :
коэффициент ρ будет значительно отличаться от нуля, где
et – ряд остатков, оцениваемых МНК
et-1 – ряд остатков со сдвигом на одну позицию.
Это уравнение является авторегрессионным уравнением I порядка.
Преимущество:
1. Может оценивать наличие автокорреляции любого порядка, построив соответствующее уравнение регрессии;
2. Использование статистики Стьюдента для оценки этой статистики