22,5 Единица.

По накопленным частотам определяем, что 12,5-й единице совокупности соответствует значение признака, равное 4, т. е. = 4 тарифному разряду. Значит, половина работников исходной совокупности (50% работников) имеют 4 тарифный разряд и ниже, вторая половина работников (50%) имеют 4 тарифный разряд и выше.

Аналогично определяем, что Q₃ = 5 тарифный разряд, т. е. 75% работников имеют 5 тарифный разряд и ниже, а 25% работников – 5 тарифный разряд и выше.

D₉ = 6 тарифный разряд, т. е. 90% работников имеют 6 тарифный разряд и ниже, а 10% работников – 6 тарифный разряд.

В интервальном вариационном ряду медиану вычисляют по формуле

,

где – нижняя граница интервала, содержащего медиану;

– величина медианного интервала;

– сумма всех частот (частостей);

– накопленная частота (частость) интервала, предшествующего медианному;

– частота (частость) медианного интервала.

Расчет квартиля и дециля производится аналогично медиане. Например,

;

.

В интервальном вариационном ряду медиану, квартиль, дециль можно вычислить графически по кумуляте.

Пример 9. По исходным данным примера 7 вычислить , и (по формулам и графически).

Решение. Рассчитаем накопленные частоты и определим порядковые номера единиц, делящих исходную совокупность в нужном нам соотношении:

		S
до 5 000	4	4
5 000–7 000	12	16
7 000–10 000	8	24
10 000–15 000	6	30
Итого	30

= 15 (15-я единица).

По накопленным частотам определяем, что 15-я единица совокупности содержится в интервале 5 000–7 000 руб. Этот интервал является медианным. Подставим значения в формулу

(руб.). Половина работников отдела имеют размер заработной платы менее 6 833 руб., половина – более 6 833 руб.

= 7,5 (7,5 единица).

По накопленным частотам определяем, что первый квартиль находится в интервале 5 000 – 7 000 руб. Вычислим первый квартиль

+ = = = 5 583 (руб.).

Значит, 25% работников имеют размер заработной платы менее 5 583 руб., а 75% – больше 5 583 руб.

= = 24 (единица). По накопленным частотам определяем, что восьмой дециль содержится в интервале 7 000 – 10 000 руб. Вычислим его по формуле

= = 10 000% работников имеют размер заработной платы меньше 10 000 рублей, 20% – более 10 000 рублей.

Построим кумуляту (рис. 5).

Рис. 5

Показатели вариации

К абсолютным показателям вариации относятся:

Размах вариации (R) – определяется по формуле

R = – .

Среднее квартильное отклонение ( ) – рассчитывают по формуле

.

Среднее линейное отклонение ( ) – рассчитывают по формулам

– для не сгруппированных данных;

– для сгруппированных данных.

Дисперсия ( ) – вычисляется по формулам

– для не сгруппированных данных;

– для сгруппированных данных.

Среднее квадратическое отклонение ( ) – вычисляется по формулам

– для не сгруппированных данных;

– для сгруппированных данных.

Показатель среднего квадратического отклонения используется при оценке меры риска при принятии финансово-экономических решений. Чем меньше величина σ, тем меньше возможный риск.

К относительным показателям вариации относятся:

– коэффициент квартильной вариации ( )

= .

– коэффициент осцилляции ( )

= 100 (%).

– коэффициент вариации ( )

.

Исходная совокупность считается однородной по изучаемому признаку, если коэффициент вариации не превышает 33%. Коэффициент вариации применяется при сравнении степени вариации в различных совокупностях.

Пример 10. По приведенным условным данным о размере и числе соответствующих штрафов вычислить показатели вариации.

Размер штрафа, руб.	Число штрафов, единиц
80–100	2
100–120	6
120–140	4
140–160	8
160–180	4
Итого	24

Решение. Исходные данные являются сгруппированными, поэтому для расчета необходимых показателей будем применять взвешенные формулы. Все предварительные расчеты представим в следующей таблице:

1	2	3	4	5	6	7
80–100	2	90	180	45	90	4 050
100–120	6	110	660	25	150	3 750
120–140	4	130	520	5	20	100
140–160	8	150	1 200	15	120	1 800
160–180	4	170	680	35	140	4 900
Итого	24		3 240		520	14 600

1. Размах вариации R = – = 180 – 80 = 100 руб.

2. Средний размер штрафа руб.

3. Среднее линейное отклонение = =

4. Дисперсия = = 608,3.

5. Среднее квадратическое отклонение = = 24,66 руб. Это значит, что в среднем размер каждого штрафа отличается от среднего размера штрафа ( = 135 руб.) на 24, 66 руб.

6. Коэффициент вариации: = = 18,3 %.

Поскольку величина данного коэффициента меньше 33%, то можно сделать вывод об однородности исходной совокупности штрафов по их размеру.

Основные математические свойства дисперсии:

– дисперсия, рассчитанная по отношению к средней величине, является минимальной;

– дисперсия постоянной величины равна нулю;

– если все индивидуальные значения признака (варианты) увеличить (уменьшить) на какое-то постоянное число А, то дисперсия новой совокупности не изменится;

– если все индивидуальные значения признака (варианты) увеличить (уменьшить) в k раз (где k – постоянное число, отличное от нуля), то дисперсия новой совокупности увеличится (уменьшится) в k² раз;

– если вычислена дисперсия по отношению к числу В, отличному от средней величины, то дисперсию исходной совокупности можно рассчитать по соотношению:

;

– дисперсию исходной совокупности можно рассчитать как разность между средней квадратов признаков и квадратом средней величины:

.