1) Операции над множествами: объединение, пересечение, вычитание и декартово произведение; 2) специальные реляционные операции: выбор­ка, проекция, соединение и деление.

Рассмотрим сначала операторы первой группы.

Объединением двух совместимых по типу отношений А и В называется отношение с тем же заголовком и с телом, состоящим из множества всех неповторяющихся кортежей отношений А и В.

Пересечением двух совместимых по типу отношений А и В называ­ется отношение с таким же заголовком, состоящее из всех кортежей, принадлежащих одновременно обоим отношениям А и В.

Вычитанием двух совместимых по типу отношений А и В называется отношение с тем же заголовком и состоящее из множества кортежей, при­надлежащих отношению А и не принадлежащих отношению В.

Декартово произведение двух отношений А и В, где А и В не име­ют общих имен атрибутов, есть отношение с заголовком, представ­ляющим собой объединение двух заголовков отношений А и В, и состоящее из множества всех возможных сцеплений кортежей А и В. Кардинальное число результата в этом случае есть произведение кардинальных чисел отношений А и В.

Теперь перейдем к операторам второй группы.

Выборкой (Θ -соединением или Θ-выборкой) из отношения А по атрибу­там X и У, где Θ обозначает любой скалярный оператор сравнения (=, >, и т.д.), называется отношение, имеющее такой же заголовок, что и исходное отноше­ние А, и множество всех кортежей отношения А, для которых проверка усло­вия X Θ Y дает истинный результат. При этом атрибугы X и Y должны быть определены на одном и том же домене, а оператор должен иметь смысл для этого домена

В качестве примера рассмотрим варианты выборки из отношения ГРУЗЫ в (табл. 2 по операции Θ = "> ". Для выборки ВЕС > 50 т получим результат, представленный в табл. 4.

Та6лица 4. Результат выполнения операции выборки

G#	НАЗВАНИЕ_ГРУЗА	ВЕС
G3	УГОЛЬ	100т

Проекцией отношения А по атрибутам X,Y,...,Z, где каждый из атрибутов принадлежит отношению А, называется отношение с заго­ловком {X,Y,...,Z} и телом, содержащим множество всех кортежей атрибутов X,Y,...,Z. Никакой атрибут не может быть указан в списке атрибутов дважды. В таблице 5 приведен результат проекции отношения А (см. табл. 2) по атрибуту {ПУНКТ_ОТПРАВЛЕНИЯ}, а в таблице 6 — по атрибутам {ПУНКТ_ОТПРАВЛЕНИЯ, ПУНКТ_ ПРИБЫТИЯ}.

Таблица 5. Результат проекции отношения по атрибуту ПУНКТ ОТПРАВЛЕНИЯ

ПУНКТ ОТПРАВЛЕНИЯ

С.-ПЕТЕРБУРГ

КЕМЕРОВО

Таблица 6. Результат проекции отношения но атрибутам

{ПУНКТ_ОТПРАВЛЕНИЯ, ПУНКТ_ПРИБЫТИЯ}

ПУНКТ ОТПРАВЛЕНИЯ	ПУНКТ ПРИБЫТИЯ
С.-ПЕТЕРБУРГ	МОСКВА
КЕМЕРОВО	ОМСК

Операция соединения может иметь несколько разновидностей. Важ­нейшей ее разновидностью является естественное соединение.

Пусть имеется два отношения А и В и отношения имеют заголовки {X₁, Х₂,..., Х_m, У₁, Y₂,...,Y_n} и {У₁, Y₂,...,Y_n, Z₁, Z₂,...,Z_k} соответственно. Атрибуты Y₁, Y₂,...,Y_n являются общими для двух отношений и определе­ны на одном и том же домене в отношениях А и В. Будем рассматривать {X₁, Х₂,..., X_m}, {Y₁, Y₂,...,Y_n} и {Z₁, Z₂,...,Z_k} как три составных атрибута X,Y и Z соответственно. Тогда естественным соединением называется от­ношение с заголовком {X, Y, Z} и телом, содержащим множество всех кор­тежей, имеющих общий составной атрибут Y, причем домен Y указывает­ся только один раз.

Если отношения А и В не имеют общих атрибутов, то операция соеди­нения таких отношений превращается в их произведение.

Пусть отношения А и В имеют заголовки {Х₁,Х₂, ...,X_m, Y₁ Y₂,...,Y_n} и {Y₁ Y₂,...,Y_n} соответственно, т.е. атрибуты {Y₁ Y₂,...,Y_n} являются об­щими для обоих отношений, и отношение В не имеет дополнительных ат­рибутов, кроме {Y₁, Y₂,...,Y_n}. Будем называть отношение А делимым, а отношение В делителем. Обозначим {Х₁, Х₂, ..., Х_m} и {Y₁, Y₂,...,Y_n) как Х и Y.

Таблица 7. Отношение А (делимое) для примера операции деления

V#	R#
VI	Rl
VI	R2
VI	R3
VI	R4
VI	R5
VI	R6
V2	Rl
V2	R2
V3	R2
V4	R2
V4	R4
V4	R5

Тогда частным от деления отношения А на В называется отноше­ние с заголовком {X} и телом, содержащим множество всех кортежей X таких, что существует кортеж X,Y, принадлежащий отношению А для всех кортежей Y, принадлежащих отношению В, или, иначе, отноше­ние содержит такие значения X из отношения А, для которых соответствующие значения Y из отношения А включают ВСЕ значения Y из отношения В. Результат деления отношения А (см. табл. 7) на отно­шение В (см. табл. 8) приведен в табл. 9.

Таблица 5.8. Варианты а, б и в отношения В (делителя) для примера операции деления

R#		R#		R#
R1		R2		R1
		R4		R2
a)				R3
		б)		R4
				R5
				R6
				в)

Таблица 10.9. Варианты а, б и в частного от деления отношения А на отношение В

V#		V#		V#
VI		VI		VI
V2		V4
a)		б)		в)