6Анализ стационарного состояния отрезка линии с потерями

В теоретическом отношении стационарное состояние конечного и полубесконечного отрезков линии можно рассматривать как предельный случай (при ) гармонического процесса в них. Поэтому, полагая в формулах (9), (14) и (17) , получим следующие выражения характеристических параметров линии в стационарном состоянии:

; ; , .

Формально, вид характеристик участков полубесконечных и конечных отрезков линии сохраняется и в стационарном состоянии. При из выражений (11) - (12) характеристик конечного участка [0, x¢] полубесконечного отрезка [0, ¥] получаем

,

.

Для участка конечного отрезка линии, нагруженного пассивной ветвью с характеристиками и , аналогично находим:

• характеристики в экспоненциальных функциях

,

,

где значение коэффициента отражения по напряжению r, определяемое отношением

,

ограничено замкнутым промежутком [–1, 1] ( , а либо );

• характеристики в гиперболических функциях

,

.

Выражения (44) - (49) входных параметров участка конечного отрезка линии при переходят в вещественные функции R(x) и G(x).

7Анализ гармонического процесса в отрезке линии без потерь

7.1Комплексные характеристики отрезков линии без потерь

Формально, линия без потерь есть предельный случай линии с потерями при ограничении дуальной пары её первичных диссипативных параметров значениями R₀ = 0 и G₀ = 0. В этом случае выражения характеристических параметров линии принимают наипростейший вид:

, следовательно, , (0)

, (0)

, , (0)

то есть собственное затухание a линии без потерь равно нулю, а её характеристические сопротивление и проводимость вещественны. Поскольку коэффициент фазы b пропорционален частоте w, то фазовая скорость v_ф = v_ф(w) волн напряжения и тока от частоты не зависит:

(0)

Для линий без потерь, моделирующих воздушные линии передачи, значение фазовой скорости v_ф по умолчанию принимают равным значению скорости света: v_ф = с = 3·10⁸ м/с. Если же линия без потерь моделирует радиотехнический кабель, то это число делят на так называемый “коэффициент укорочения длины волны”, значения которого приводятся в стандарте на соответствующий кабель (ГОСТ 11326.1-79 – 11326.92-79).

При , и из выражений (18) - (19) комплексных характеристик участка [0, x¢] полубесконечного отрезка линии [0, ¥) получаем

, ;

и ,

причём и — синфазные гармонические колебания, поскольку векторы и коллинеарные.

Аналогично из (40 - 43) найдём выражения характеристик участка [0, x] конечного отрезка (0 £ x £ l) линии без потерь, нагруженного пассивной ветвью с характеристиками или :

• характеристики в экспоненциальных функциях мнимого аргумента:

, (0)

, (0)

где через и обозначены комплексы действующих значений прямобегущих волн напряжения и тока в конце отрезка линии: и ;

• характеристики в гиперболических функциях записываются теперь в тригонометрических функциях вещественного аргумента:

, (0)

, (0)

поскольку

, .

Получим теперь выражение потребляемой комплексной мощности P_Sп(x) в сечении с координатой x конечного отрезка однородной линии:

=

=

.

7.2Гармонические волны напряжения и тока

Если раскрыть скобки в (58) и (59), то образованные таким образом слагаемые в правых частях, как известно, можно рассматривать как комплексы действующих значений падающих и отражённых гармонических волн напряжения и тока. Учитывая, что, постоянные интегрирования U_п2 и I_п2 – комплексные числа с одинаковым значением аргументов:

, , а

получаем

,

.

Если из первых слагаемых u(x, t) и i(x, t) выделить составляющие, пропорциональные коэффициенту отражения r, и объединить их с последними слагаемыми, представляющими отражённые волны, то получим разложение напряжения и тока на бегущие и стоячие волны. Проще всего эту процедуру выполнить в комплексной форме. Обратившись к первому уравнению системы (58) - (59) выполним следующую цепочку преобразований:

.

После аналогичных преобразований второго уравнения той же системы получим

.

Прейдём теперь к мгновенным значениям напряжения u(x, t) и тока i(x, t) в отрезке линии без потерь:

,

.

Рис. 21

Эта пара выражений представляет так называемые смешанные волны напряжения и тока (Рис. 21), поскольку их первые слагаемые описывают бегущие гармонические волны, а вторые – стоячие. Напомним, что одномерная стоячая волна представляется произведением двух функций, одна из которых зависит только от координаты x, а другая – только от относительного времени t.

В зависимости от характера пассивной нагрузки в отрезке линии наблюдается один из трёх типов гармонического процесса:

• режим бегущих волн (при согласованной нагрузке или , когда );

• режим стоячих волн (для короткозамкнутого или разомкнутого на конце отрезка линии, а также при реактивной нагрузке либо , когда, );

• режим смешанных волн (при произвольной нагрузке или , когда , ).