- •7. Вычислить выражения:
- •1. Вычислить:
- •Задание № 4-2.
- •3. Вычислить определители:
- •Задание 6-1.
- •Задание № 7-1.
- •Задание № 8-5.
- •Задание 9-3.
- •2.Вычислить выражения:
- •Ответы.
- •Задание 102.
- •Ответы.
- •Задание № 13 4.
- •Ответы.
- •Задание № 142.
- •Ответы.
- •Задание № 155.
- •Ответы .
- •Задание № 16-4.
- •Ответы.
- •Задание № 17-2.
- •Задание № 22-2.
- •Ответы.
- •Задание № 23 3.
- •Ответы.
- •Задание 244.
- •Ответы.
- •25. Задания для самостоятельной работы.
- •Ответы.
- •26. Задачи и упражнения для самостоятельной работы
- •Ответы.
- •Задание № 275.
- •28. Задачи для самостоятельного решения
- •5. Написать уравнение плоскости, инвариантной относительно линейного преобразования , заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей
- •9. Ответы к задачам для самостоятельного решения
- •29. Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам для самостоятельного решения
- •30. Задачи для самостоятельного решения.
- •Ответы к задачам для самостоятельного решения.
Ответы .
1а. Да. 1б. Нет. 1в. Нет. 2а. Ком. 2б. Ком. 2в. Ком., ас. 3а. Да. 3б. Да. 3в. Да. . 3г. Да при d = 1. 3д. Да. 3е. Нет. 3ж. Да. 3з. Нет. 3и. Да. 3к. Да.
Задание № 16-4.
1.Найти порядок элемента группы:
а) б)
2.Доказать, что если е - единица и а - элемент порядка n группы G, то аk = е тогда и только тогда, когда k делится на n.
3.Какие из следующих числовых множеств образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения:
а) множество Q;
б) множество вещественных чисел вида x + y + z , x, y, Q ?
4.Какие из следующих матриц образуют кольца ?
а) б) в)
г) множество матриц порядка n 2, у которых две последние строки нулевые;
д) множество вещественных симметрических матриц порядка n ?
5.Доказать, что следующие множества являются полями:
а) Q с операциями +, , *, где a*b = 2ab;
б) Кольцо классов вычетов Z3.
2.Показать гомоморфизм колец и R при отображении
Ответы.
1а. 8; 1б. 8; 2. Док-во. 3а. Да. 3б. Да. 4а. Да. 4б. Нет. 4в. Да. 4г. Да. 4д. Нет.
Задание № 17-2.
1.Найти обратную к квадратной матрице , где А, С - невырожденные матрицы.
2.Доказать, что если матрицы А и В ортогональны, то матрицы
А-1 и АВ также ортогональны.
3.Найти все нижние нильтреугольные матрицы, коммутативные со всеми нижними нильтреугольными матрицами того же порядка.
4.Доказать, что произведение верхнетреугольных матриц является верхнетреугольной матрицей.
5.Показать, что матрица, обратная к неособенной симметрической матрице будет симметрической матрицей.
6.Показать, что произведение двух кососимметрических матриц тогда и только тогда будет матрицей симметрической, когда данные матрицы перестановочны.
7.Проверить, что матрица А является симметрической, ортогональной, инволютивной, А =
8.Найти Аn для всех целых положительных чисел n:
а) А = в) А =
Ответы .
1. 8a.
Доказательство.
{ E1,n-1, E}. 8б.
Нет ответа. n 2(md3), n 0(md3), n 1(md3).
Доказательство.
Доказательство.
7. Доказательство.
ЗАДАНИЕ № 18-1
1.Выяснить, являются ли подобными между собой матрицы:
А = В =
2.Найти минимальный многочлен единичной матрицы.
3.Привести к нормальной диагональной форме путём элементарных
преобразований следующие матрицы:
а) б)
4.Привести к нормальной диагональной форме при помощи делителей миноров следующие матрицы:
а) б)
Ответы.
1. Да. 4а.
2. t 1.
3а. 4б.
3б.
ЗАДАНИЕ № 19-5.
1.Выяснить, являются ли подобными между собой матрицы:
А = В =
2.Найти минимальный многочлен нильпотентной матрицы с показателем нильпотентности k.
3.Привести к нормальной диагональной форме путём элементарных преобразований следующие матрицы:
а) б)
4.Привести к нормальной диагональной форме при помощи элементарных преобразований следующие матрицы:
а) б)
Ответы.
1. Да. 4а.
2. tk.
3а. 4б.
3б.
ЗАДАНИЕ № 20-4.
Найти жорданову форму матриц:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) .
Ответы.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6)
Задание № 213.
1.Доказать линейную независимость системы функций sinX, cosX.
2.Проверьте, выполняются ли аксиомы векторного пространства
над произвольным полем F, если операции определены следующим образом:
3.Является ли множество всех арифметических nмерных векторов (x1, x2,...,xn) в Fn векторным пространством над полем F, если:
а) x1 + x2 +...+xn =0 ; б) х1 хn = 1 ?
4.Является ли векторным пространством над полем рациональных чисел множество чисел вида а + b, a, b рациональные?
5.Покажите, что множество матриц с элементами из поля F c обычными операциями сложения матриц и умножения на число является векторным пространством над F и что это пространство изоморфно векторному пространству F4.
6.При каких , , , система векторов (, ), (, ) образует базис арифметического векторного пространства над полем R ?
Ответы. 1 Док-во.
2 Нет при n>1
3а Да.
3б Нет.
4 Да.
5 Док-во.
6