Задание № 22-2.

1.Пусть векторы е₁ = (2, 1, 3), e₂ = (3, 2, 5), e₃ = (6, 2, 7), х = (11, 5, 15) заданы своими координатами в некотором базисе. Доказать, что е₁, е₂, е₃  также базис пространства и найти координаты вектора х в этом базисе.

2.Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если поменять местами два вектора второго базиса ?

3.Является ли подпространством соответствующего векторного пространства совокупность векторов арифметического пространства Fⁿ, где F  поле решений данной системы уравнений ?

4.Образуют ли подпространство в пространстве матриц М_n(F) кососимметрические матрицы порядка n над полем F ?

5.Найти размерности суммы и пересечения линейных оболочек систем векторов пространства R⁴:

S = <(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 3)>;

Т = <(1, 2, 0, 2), (1, 2, 1, 2), (3, 1, 3, 1)>.

6.Найти базисы суммы и пересечения линейных оболочек:

а)  A = <(1, 2, 1, 0), (1, 1, 1, 1)>; B = <(2, 1, 0, 1), (1, 1, 3, 7)>;

b) A = <(1, 1, 1)>; B = <(1, 0, 1), (1, 1, 0)>.

7.Найти систему уравнений, задающих линейную оболочку системы векторов: A = <(1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 0, 3), (3, 1, 1, 1, 7), (0, 2, 1, 1, 2)>.

Ответы.

 

  1. (1, 1, 1). 5. 3, 2.

2. Поменяются местами 6a. (a₁, a₂, b₁); (5, 2, 3, 4).

2 столбца. 6б. U + V = R³.

3. Да. 7. x₁  x₂  2x₃ = 0;

4. Базис: {E_ij + E_ji  1 i  j  n}, x₁  x₂ + 2x₄ = 0;

разм. n(n1)/2. 2x₁ + x₂  x₅ = 0.

Задание № 23 3.

1.Выяснить, какие из следующих преобразований  (х) являются линейными. В случае линейности найти матрицу данного преобразования:

a)  (х) = (2x₁ + x₂, x₁ + x₃, x₃²);

б)  (х) = (x₁, x₁, 0);

в)  (х) = (kx₁, kx₂, kx₃).

2.Найти все векторы пространства Rⁿ, переходящие в вектор b пространства R^m при линейном отображении  _A: Rⁿ  R^m, заданном матрицей А:

 

a) A =  b =  b) A =  b = 

Ответы.

2а.

1в. 2б.

Задание 244.

1. Является ли линейным отображение (х₁, х₂, х₃)  (х₁ + 2, х₂ + 5, х₃)?

2. Линейное преобразование   в базисе е₁, е₂, е₃, е₄ имеет матрицу

Найти матрицу этого же преобразования в базисе е₁, е₃, е₂, е₄.

3. Какие из следующих преобразований пространства R³ являются линейными? В случае линейности найти матрицу, ранг и дефект преобразования: а) (х₁, х₂, х₃) = (k₁х₁, k₂х₂, k₃х₃), k₁, k₂, k₃  R.

4. Найти собственные векторы и собственные значения линейного

преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

5. Доказать, что ядро и образ линейного преобразования   инвариантны относительно  .

Ответы.

1. Нет. 2. 3a. r = 3, def = 0.

3б.   r = 1, def = 2.

4. ₁ = ₂ = ₃ = 1, соб. вект.: c₁(3, 1, 1), c  0.

5. Доказательство.