Теорема эйлера

1. Т.Э. в теории сравнений утверждает, что если (a, m)=1, то , где f(m) – функция Эйлера (количество целых положительных чисел взаимнопростых с m, не превосходящих m).

2. Т.Э. о многогранниках утверждает, что для всякого многогранника нулевого рода справедлива формула:

В + Г – Р = 2, где В – число вершин, Г – число граней, Р – число рёбер многогранника. Однако впервые такую зависимость подметил ещё Декарт. Поэтому Т.Э. о многогранниках исторически правильнее называть теоремой Декарта-Эйлера. Число В + Г – Р называется эйлеровой характеристикой многогранника. Т.Э. применяется и для замкнутых графов.

Теорема фалеса

Одна из теорем элементарной геометрии о пропорциональных отрезках. Т.Ф. утверждает, что если на одной из сторон угла от его вершины последовательно отложить равные между собой отрезки и через концы этих отрезков провести параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла, то на второй стороне угла отложатся также равные между собой отрезки. Частный случай Т.Ф. выражает некоторые свойства средней линии треугольника.

Великая теорема ферма

Утверждение П. Ферма о том, что уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ (где n – целое число большее двух) не имеет решений в целых положительных числах. Несмотря на утверждение П. Ферма о том, что ему удалось найти удивительное доказательство В.Ф.Т., которое он не приводит из-за недостатка места (это замечание написано было П. Ферма на полях книги Диофанта), до недавнего времени (середина 90-х) В.Т.Ф. в общем виде доказана не была.

Малая теорема ферма

Частный случай теоремы Эйлера, когда модуль m=p – простое число. М.Т.Ф. формулируется так: если p простое число, то a^p=a(mod p). В том случае, когда a не делится на p, из М.Т.Ф. следует: a^p-1=1(mod p). М.Т.Ф. была открыта французским учёным Пьером Ферма.

Неравенство гёльдера

Для конечных сумм имеет вид:

, или в интегральной форме:

,

где p > 1 и . Н.Г. часто применяется в математическом анализе. Н.Г. является обобщением неравенства Коши в алгебраической форме и неравенства Буняковского в интегральной форме, в которые Н.Г. обращается при p = 2.

Формула кардано

Формула, выражающая корни кубического уравнения: x³+px+q=0 (*) через его коэффициенты. К виду (*) приводится всякое кубическое уравнение. Ф.К. записывается так:

. Выбирая произвольно значение первого кубического радикала, следует выбрать то значение второго радикала (из трёх возможных), которое в произведении с выбранным значением первого радикала даёт (-p/3). Таким образом получают все три корня уравнения (*). До сих пор не ясно, кому принадлежит Ф.К.: Дж. Кардано, Н. Тарталье или С. Ферро. Ф.К. относится к XVI в.

Неравенство коши

Неравенство , имеющее место для конечных сумм; очень важное и наиболее употребительное в различных областях математики и математической физики неравенство. Впервые было установлено Коши в 1821 г. Интегральный аналог Н.К.: , установлен русским математиком В.Я. Буняковским.

Теорема менелая

Если прямая пересекает стороны треугольника АВС или их продолжения в точках C’, A’ и B’ , то справедливо соотношение:

(*) Отношение отрезков берётся положительным, если прямая пересекает сторону треугольника, и отрицательным, если прямая пересекает продолжение стороны. Справедливо и обратное выражение: если выполняется равенство (*), где A, B, C – вершины треугольника, а A’, B’, C’ лежат на одной прямой.

Т. М. можно сформулировать в виде критерия расположения трёх точек A’, B’ и C’ на одной прямой: для того, чтобы 3 точки A’, B’ и C’ лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение (*), где A, B, C – вершины треугольника, а A’, B’, C’ принадлежат соответственно прямым BC, AC и AB.

Т. М. была доказана древнегреческим учёным Менелаем (I в.) для сферического треугольника и, по-видимому, была известна Евклиду (III в. до н.э.). Т. М. является частным случаем более общей теоремы Карно.