Задачи для самостоятельного решения.

1. Промышленное предприятие «Белподшип» имеет возможность выпускать подшипники четырех видов (П1, П2, ПЗ, П4). На их изготовление необходимо использовать три вида производственных ресурсов: кольца, шарики, сепараторы. Наличие ресурсов в плановом периоде и норма их расхода на единицу продукции указаны в табл. 1.

Таблица 1.

Вид ресурса	Наличие ресурса, шт.	Норма расхода на единицу продукции, шт./ед.
		П1	П2	П3	П4
Кольца	600	2	2	2	2
Шарики	200	6	8	10	6
Сепараторы	550	2	1	1	2

Для изготовления данных видов подшипников необходимо оборудование трех видов: токарное, шлифовальное, измерительная техника. Наличие оборудования и потребляемая им мощность, требуемая на изготовление подшипников каж­дого вида, указаны в табл. 2.

Таблица 2.

Вид оборудования	Наличие оборудования, станко-ч	Норма расхода на единицу продукции, станко – ч/ед.
		П1	П2	П3	П4
Кольца	65	0,2	0,3	0,1	0,2
Шарики	30	0,1	0,1	0,2	0,2
Сепараторы	85	0,3	0,2	0,1	0,1

Маркетинговый отдел данного предприятия выявил, что в экономическом регионе есть два крупных потребителя подшипников данных видов: Россия и Беларусь. Общая потребность в подшипниках по экспертным оценкам в настоящее время составляет порядка тех объемов, которые представлены в табл. 3.

Таблица 3

Продукция	Рынки	Планируемый объем продаж, шт	Планируемая прибыль от единицы продукции, ден.ед.
П1	Россия	100	7
П1	Беларусь	200	8
П2	Россия	150	5
П3	Россия	100	4
П4	Беларусь	Не ограничен	6

Исходя из сложившейся ситуации на рынке определить, какой объем продукции необходимо выпускать, чтобы получать максимальную прибыль.

2. На нефтеперерабатывающий завод еженедельно поступает не более 500 тыс. т сырой нефти, в том числе: 1 сорта — до 100 тыс. т; 2 сорта - до 100 тыс. т; 3 сорта -- до 200 тыс. т и 4 сорта — до 100 тыс. т. Из этого сырья завод производит продукты нефтепереработки четырех видов (А, В, С, Д). Потребность в этих продуктах в течение недели ограничена и не превышает по видам:

А — 170 тыс. т,

В — 85 тыс. т,

С — 20 тыс. т,

Д — 85 тыс. т.

Продукт С (смазочное масло) может быть получен только из нефти третьего сорта. Остальные продукты получают при переработке любого сорта сырой нефти, в том числе и третьего.

Прибыль от переработки сырой нефти составляет:

1. сорта — 1 ден. ед./т;

2. сорта — 2 ден. ед./т;

3. сорта:

а) при получении жидкого топлива — 1,5 ден. ед./т;

б) при получении смазочного масла — 2,5 ден. ед./т;

4 сорта — 0,7 ден. ед./т.

Характеристика сырой нефти по выходам нефтепродук­тов приведена в табл. 1.

Таблица 1.

Сорт сырой нефти	Выход продуктов переработки (по видам) из 1 т. сырой нефти
	А	В	С	Д
1	0,6	0,2	-	0,1
2	0,5	0,2	-	0,2
3а	0,4	0,3	-	0,2
3б	0,4	0,1	0,2	0,2
4	0,3	0,3	-	0,3

Требуется определить, какое количество нефти каждого сорта следует заводу переработать, чтобы получить необходимый ассортимент продуктов переработки и максимальную прибыль.

3. Известны три пункта, где могут быть размещены леспромхозы с максимально допустимым годовым объемом заготовок соответственно 200 тыс., 100 тыс. и 50 тыс. м³, себестоимостью 1 тыс. м³ заготавливаемой древесины 8 тыс., 6 тыс. и 4 тыс. ден. ед. и удельными капитальными вложениями 0, 0 и 1 тыс. ден. ед./тыс. м³. Потребителями древесины являются три лесопильных завода, годовой спрос которых достигает 80 тыс., 70 тыс. и 50 тыс. м³. Затраты на перевозку 1 тыс. м³ древесины от каждого леспромхоза к любому лесопильному заводу приведены в табл. 1

Таблица 1

Леспромхозы	Лесопильные заводы
	1	2	3
	Удельные транспортные затраты, тыс. ден. ед./ 1 тыс. м^3
1	3	2	5
2	1	4	2
3	5	3	1

Условно-постоянные расходы в расчете на 1 тыс. м³ годовой производительности леспромхозов соответственно равны 0,5 тыс., 0,8 тыс. и 0,4 тыс. ден. ед.

Требуется разместить лесозаготовки таким образом, чтобы потребность всех лесопильных заводов в сырье была удовлетворена с наименьшими затратами.

4. Планируется выпуск двух видов товаров: А в объеме 20 млн. ден. ед. и Б ‑ 50 млн. ден. ед. Для производства этого количества товаров можно построить два предприятия ‑ № 1 и № 2. При этом для каждого из предприятий существуют два типовых проекта (табл. 1), которые характеризуются годовым объемом производства и затратами трудовых и материальных ресурсов, а также приведенными затратами на создание мощностей.

Таблица 1.

Предприятие	Проект	Объем производства		Расходы		Приведенные затраты, млн. ден. ед.
		А	Б	Труда, тыс.чел.	Материалов млн. ден. ед.
№1	І ІІ	10 10	15 30	25 35	4200 3500	8200 7500
№2	І ІІ	10 15	20 35	29 42	7200 4300	12000 9500

Установить, какое предприятие и по какому проекту нужно строить, чтобы обеспечить выпуск товаров с минимальными затратами, если известно, что отрасль будет располагать ресурсами труда в объеме 64 тыс. чел.-ч и материалами в 11 млрд. ден. ед. в год.

5. На приобретение оборудования для нового производственного участка выделено 300 000 тысяч ден. единиц. Его предполагается разместить на площади 45 м².

Участок может быть оснащен оборудованием трех видов:

1) машинами стоимостью 6 тыс. ед. (здесь и далее все показатели приводятся на единицу оборудования), размещающимися на площади 9 м², производительностью 8 тыс. ед. продукции за смену;

2) машинами стоимостью 3 тыс. ед., занимающими площадь 4 м², производительностью 4 тыс. ед. продукции за смену;

3) машинами стоимостью 2 тыс. ед., занимающими площадь 3 м², производительностью 3 тыс. ед. продукции.

Построить модель, на основе которой можно решить задачу определения плана оборудования, обеспечивающего наибольшую производительность всего участка.

6. С Курского вокзала Москвы ежедневно отправляются скорые и пассажирские поезда. Построить модель задачи, с помощью которой можно определить оптимальное количество поездов обоих типов, обеспечивающих максимальное количество ежедневно отправляемых пассажиров с вокзала, если пассажировместимость, количество вагонов железнодорожного депо станции отправления и стоимость билетов указаны в таблице.

Таблица 1.

Тип вагона		Багаж- ный	Почто- вый	Плац- картный	Купей- ный	Мягкий
Кол-во вагонов в поезде	скорый	1	1	8	4	1
	пас.	1	0	5	6	3
Пассажиро-вместитель-ность, чел.				58	36	18
Парк вагонов		10	8	80	70	30
Стоимость билета				10	15	25

7. По предписанию врача пациенту необходимо перейти на диету и за сезон употребить питательных веществ, содержащихся во фруктах, в количествах, указанных в таблице.

Вещества	Содержание питательных веществ в 1 кг. фруктов, гр.			Нормы потребления, гр.
	клубника	яблоки	смородина
р1	3	2	1	30
р2	1	3	4	70
р3	0	0	5	40
р4	1	0	1	50
Цена, руб. за 1 кг.	10	5	8

Определите, какое количество фруктов каждого вида необходимо купить за сезон, чтобы выполнить предписание врача с минимальными расходами.

8. Фирма выпускает три продукта: А, В, С. На производство единицы продукта А требуется затратить 1 ч. труда ИТР, 10 ч. физического труда и 3 кг. сырья. Для единицы продукта В соответствующие показатели равны 2 ч., 4 ч. и 2 кг, для продукта С – 1 ч, 5 ч. и 1 кг. Ресурсы составляют 400 ч. труда ИТР, 2300 ч. физического труда и 700 кг. сырья. При оптовых закупках покупателю предоставляются скидки, так что прибыли от продажи продукции изменяются, как показано в таблице. Например, если продается 120 ед. продукта А, то первые 40 ед. приносят по 10 долл. прибыли; следующие 60 – по 9 долл., а остальные 20 – по 8 долл. Сформулируйте задачу линейного программирования, решение которой определяет наиболее доходный производственный план.

Продукт А		Продукт В		Продукт С
Продажа, ед.	Удельная прибыль, долл.	Продажа, ед.	Удельная прибыль, долл.	Продажа, ед.	Удельная прибыль, долл.
0 – 40	10	0 – 50	6	0 – 100	5
40 – 100	9	50 – 100	4	Более 100	4
100 – 150	8	Более 100	3
Более 150	7

9. Оливер П. Петерс скоро выйдет на пенсию, и ему предстоит решить, как поступить с единовременным пособием, которое в соответствии с пенсионной программой будет предоставлено ему фирмой. М-р Петерс и его супруга намерены предпринять длительный визит в Австралию к своей дочери сроком на два года, поэтому любые сделанные в настоящий момент инвестиции будут свободны для использования на длительный период. Очевидно, цель м-ра Петерса состоит в максимизации общего дохода от вложений, полученного за двухлетний период.

М-ра Петерса проконсультировали, что наилучшим вариантом вложения инвестиций был бы инвестиционный фонд, и в настоящее время он рассматривает возможность помещения инвестиций в один из таких фондов, состоящий из инвестиций трёх типов  А, В и С.

Сумма единовременного пособия составит 25000 у.е., однако, м-р Петерс считает, что нет необходимости вкладывать в данный инвестиционный фонд все деньги; часть из них он намерен перевести на свой счёт в жилищно-строительный кооператив, который гарантирует ему 9% годовых.

По мнению бухгалтера фирмы, м-ру Петерсу следует попытаться распределить свои инвестиции таким образом, чтобы обеспечить как получение дохода, так и рост капитала. Поэтому ему посоветовали не менее 40% от общей суммы вложить в вариант А. Для обеспечения значительного роста капитала не менее 25% общей суммы денежных средств, вложенных в инвестиционный фонд, необходимо поместить в проект В, однако, вложения в В не должны превышать 35% общего объёма вложений в инвестиционный фонд ввиду высокой вероятности риска, соответствующей проекту В. Кроме того для сохранности капитала в проекты А и С следует вложить не менее 50% средств, помещаемых в инвестиционный фонд.

В настоящее время проект А позволяет получать 10% годовых и обеспечивает 1% роста капитала; проект В предполагает рост капитала в 15%, проект С даёт 4% годовых и 5%-ный рост капитала. Определить, как следует распределить средства м-ру Петерсу, учитывая его цель.

10 Правление некоторого банка сочло возможным инвестировать капитал суммой 300 тыс. долл. в 6 конкретных проектов. Эксперты оценили годовую эффективность каждого проекта на два года следующим образом:

	Номер проекта
	1	2	3	4	5	6
1-й год	0,12	0,14	0,15	0,10	0,18	0,25
2-й год	0,10	0,10	0,12	0,18	0,12	0,15

Менеджер по инвестициям считает, что не стоит вкладывать в проект 5 более 40 тыс.долл., а в проекты 4 и 6 более 25% от общей денежной суммы ввиду высокой вероятности риска, соответствующего этим проектам. В то же время не менее 40% денежных средств желательно поместить в проекты 1 и 2. Найти план инвестиций в каждый проект с целью максимизации дохода.

11. Фабрика выпускает три основных типа румян: жидкие, перламутровые и матовые с использованием одинаковых смесеобразующих машин и видов работ. Главному бухгалтеру фирмы было получено разработать для компании план производства на неделю. Информация о ценах продаж и стоимости 100 л. товара приведены в таблице (в д. ед.).

	Румяна
	жидкие	перламутровые	матовые
Цена продажи на 100 л. Издержки производства на 100 л.: Стоимость сырья Стоимость трудозатрат Стоимость приготовления смеси Другие издержки	120 11 30 32 12	126 25 36 20 15	110 20 24 36 10

Стоимость 1 чел-ч составляет 3 д. ед., а стоимость 1 ч. приготовления смеси – 4 д. ед. Фонд рабочего времени ограничен 8000 чел.-ч. в неделю, а ограничение на фонд работы смесеобразующих машин равен 5900 ч. в неделю.

В соответствии с контрактным соглашением компания должна производить 25000 л. матовых румян в неделю. Максимальный спрос на жидкие румяна равен 35000 л. в неделю, а на перламутровые румяна – 29000 л. в неделю.

Требуется определить объёмы производства жидких и перламутровых румян в неделю, при которых достигается максимальное значение получаемой за неделю прибыли.

12. Аудитории и лаборатории университета рассчитаны не более, чем на 5 000 студентов. Университет не принимает более 4 000 студентов своей страны, но разрешает прием любого количества иностранных студентов. Персонал университета составляет 440 человек. Для обучения 12 студентов данной страны и 10 иностранных студентов требуется по одному преподавателю. Необходимо, чтобы 40% студентов данной страны и 80% иностранных могли разместиться в аудиториях, где имеется 2 800 мест. Университет получает 2 000 ден. единиц в год из правительственных средств на каждого студента своей страны и берет плату в размере 3000 ден. единиц в год за каждого иностранного студента. Построить модель, на основе которой можно определить план приема студентов своей страны и иностранных студентов для получения наибольшей прибыли для университета.

13. Фирма рекламирует свою продукцию с использованием четырех средств: телевизора, радио, газет и рекламных плакатов. Маркетинговые исследования показали, что эти средства приводят к увеличению прибыли соответственно на 10, 5, 7 и 4 доллара в расчете на 1 доллар, затраченный на рекламу. Распределение рекламного бюджета по различным средствам подчинено следующим ограничениям:

а). Полный бюджет не должен превосходить 500 000 долларов;

b). Следует расходовать не более 40% бюджета на телевидение и не более 20% бюджета на рекламные щиты;

с). Вследствие привлекательности для молодежной части населения различных музыкальных каналов на радио по этой позиции следует расходовать по крайней мере половину того, что планируется на телевидение. Сформулировать задачу распределения средств по различным источникам для получения максимальной прибыли от рекламы.

14. Известно, что для изготовления бензина АИ-80, АИ-92 и АИ-95 используются составляющие трех видов А, В и С. На изготовление бензина АИ-80 идет 50% составляющей А, 25% составляющей В и 25% составляющей С. На производство бензина АИ-92 идет 60%,25% и 15% соответственно составляющих А, В и С. Для бензина АИ-95 аналогичные данные следующие: 65%, 20% и 15%. Составить модель, на основе которой предприятие, имеющее в наличие на данный плановый период 100 тонн продукта А, 40 тонн продукта В и 30 тонн продукта С, решает задачу получения максимальной прибыли от реализации бензина, если от продажи одной тонны бензина АИ-80 она составляет 1 000 ден. единиц, от продажи одной тонны бензина АИ-92 – 1 200 ден. единиц, а от продажи одной тонны бензина АИ-95 – 1 500 ден. единиц.

15. Руководство некоторой фирмы решило инвестировать 50 000 долларов в три коммерческих проекта А, В и С, экономический эффект от которых 1,6; 1,5 и 1,4 соответственно. Исследования показали, что в связи с риском в проект А необходимо вкладывать не более половины средств, чем в проект В и С вместе, а соотношение капитала, вложенного в проекты В и С, не должно превышать 2:3. Составить модель задачи, при помощи которой возможно распределить финансовые средства в каждый проект для получения максимального дохода.

16