2.2. По исправленным значениям углов и дирекционному углу исходной линии 1-2 вычисляют дирекционные углы всех линий теодолитного хода как

α_посл=α_пред.+180º- β_испр (7)

то есть дирекционный угол последующей линии равен дирекционному углу предыдущей линии плюс 180°, минус исправленный угол, право по ходу лежащий. Эта связь хорошо видна на рис.3, где показана схема вычисления α_1-3.

Рис.3. Связь дирекционных углов с горизонтальными углами.

Значение дирекционного угла исходной линии (1-2) в данном примере равно 18º31,0´, а исправленное значение угла β₂=106º14,1´. Тогда дирекционный угол стороны α_2-3 равен:

α_2-3=18°31,0´+180°00.0´-106°I4.1´=92°16.9´,

а дирекционный угол α_3-4 равен:

α_3-4 =92° 16,9´+180°00.0´ -119°46,2´ = 152º30,7´.

Аналогичным образом вычисляют дирекционные углы всех других сторон полигона. Если окажется, что дирекционный угол имеет отрицательный знак, то к нему следует прибавить 360º Вычисления дирекционных углов контролируют тем, что по дирекционному углу стороны (6-1) и углу на станции 1 вычисляют дирекционный угол исходной (заданной) стороны (1-2). Расхождений не должно быть (обязательно проконтролировать). Проверенные значения дирекционных углов линий теодолитного хода выписывают в соответствующую колонку ведомости вычисления координат (табл.3).

2.3. Вычисляют горизонтальные проложения линий (табл.1) по формуле:

d=√D²-h², (8)

где d — горизонтальное проложение длины линии;

D — среднее измеренное значение длины линии;

h — превышения между концами линии.

Рис.4.Приведение длин линий к горизонту.

Вычисленные значения горизонтальных проложений длин линий выписывают в колонку (5) ведомости (табл.3).

Примечание. В рассматриваемом примере в табл.1 и 2 значения всех длин линий уже приведены на горизонтальную плоскость, поэтому никаких дополнительных вычислений в данной контрольной работе делать надобности нет.

2.4 . По горизонтальным проложениям длин линий и их дирекционным углам вычисляют приращения координат (∆х и ∆у) по формулам (рис.5):

∆х = d cos α, ∆y= d sin α. (9)

Контроль d =√∆х² +∆у².

Рис. 5. Геометрическая схема вычисления приращений координат

Приращения вычисляют на калькуляторе или ПК. Вычисленные приращения координат округляют до 0,01 м и выписывают в колонки 6 и 7 ведомости (табл.3). В зависимости от того, в какой четверти находятся значения дирекционных углов α_i линий теодолитного хода, приращениям координат приписывают знаки "плюс" или "минус". При вычислении ∆х и ∆y на калькуляторах с тригонометрическими функциями знаки приращений высвечиваются на дисплее.

Так как полигон замкнутый, то с теоретической точки зрения сумма приращений координат по обеим осям равны нулю (Σ∆х_теор и Σ∆у_теор). Вследствие погрешностей измерения углов и линий этого, как правило, не бывает, т.е. Σ∆Х≠0, Σ∆Y≠0, а следовательно:

Σ∆Χ= f_{Χ ,} а Σ∆Y= f_{Y ,} ( 10)

Рис. 6. Геометрический смысл абсолютной невязки

Значения f_Χ и f_Y называются невязками по соответствующим осям координат. Они являются количественными характеристиками точности измерения углов и длин линий и служат для оценки качества выполненных измерений. Для этого по невязкам вычисляют абсолютную линейную невязку теодолитного хода f_d по формуле:

f _d=√f_x²+ f_y² (11)

Геометрический смысл абсолютной невязки показан на рисунке 6.По данным нашего примера (см. табл. 3), имеем:f_d =√(-0.22)² + 0.16² = 0.27м

Абсолютная линейная невязка недостаточно характеризует точность линейных измерений. Более объективной характеристикой для этих целей служит относительная невязка, т.е. f_d/Σd. В геодезии относительную невязку записывают всегда в виде простой дроби, в числителе которой единица (аликвотная дробь). Если относительная невязка меньше 1/2000, то измерения и вычисления признают удовлетворительными, а значения f_x и f_y считают допустимыми. Относительная невязка, полученная в нашем примере, равна 1:2800, что меньше допустимой 1:2000. Так как условие выполнено, то невязки необходимо распределить в приращения координат в виде поправок пропорционально длинам сторон, т.е.

_∆Χi =-( f_Χ /Σd) d_i _∆Yi =-( f_{Y /} Σd) d_i (12)

Например, в приращение ∆х_1-2 поправка равна _∆X1-2 = +0,04м, а в приращение ∆у_1-2 равна _∆Y1-2 = -0,03м. Аналогично вычисляют поправки и в остальные приращения ∆x и ∆y. Алгебраическая сумма поправок в приращения должна быть равна величине невязки, взятой с обратным знаком, т.е. _∆x = −f_x, а _∆y=−f_y (обязательно проверить).

Так как поправки в приращения координат имеют не более двух значащих цифр, то периметр полигона (Σd) и длины линий в формуле (12) достаточно взять с округлением до сотен метров.

Поправки в приращения координат выписывают над соответствующими приращениями в ведомости (табл.3) и затем вычисляют исправленные приращения. Алгебраические суммы исправленных приращений координат в замкнутом теодолитном ходе должны быть равны теоретической сумме, т. е. ∆x_исп=0, ∆y_исп=0.