Так как форма очага деформации при волочении через матрицу с малым углом конусности определяется самой матрицей, то решение задачи можно начать с «инженерного» метода.
3.1. Определение напряжения волочения методом совместного
решения дифференциальных уравнений равновесия
и пластичности
Рассмотрим равновесие тонкого плоского элемента толщиной dz (рис. 6), находящегося под действием растягивающих напряжений z , сжимающих р (соответствующих напряжениям на схеме рис. 5) и касательных р.
Так
как угол
мал, то
;
тогда условие пластичности примет вид:
.
Рис. 6. Напряжения, действующие на элемент материала
бесконечно малой толщины в процессе волочения
Составив уравнение равновесия тонкого (dz) сечения и решая его совместно с условием пластичности, получим дифференциальное уравнение, сходное (отличие в знаке в знаменателе) с дифференциальным уравнением процесса прессования (выдавливания)
(7)
Рассмотрим различные варианты решения уравнения (7):
1 случай: матрица гладкая, упрочнение отсутствует, т.е.
= 0; S = const; 0.
Из
уравнения (7) следует:
После
интегрирования:
Используя граничное условие:
при D = D0 z = 0; C = ln D0 .
Тогда для определения напряжения в выходном сечении получим:
(8)
2 случай:
0; S = const.
После интегрирования уравнения (7) получим:
где В = ctg ; C - константа интегрирования.
Из граничных условий, аналогичных предыдущему случаю,
Тогда
(9)
3 случай:
0; S const.
Упрочнение может быть учтено зависимостью [3], связывающей природные характеристики материала. Однако, в этом случае интегрирование уравнения (7) будет затруднено. Поэтому используем упрощенную зависимость [4], подтвержденную многочисленными экспериментами
где К – постоянная, имеющая размерность напряжений.
Интегрирование уравнения (7) с учетом упрочнения дает:
.
(10)
3.2. Определение усилия волочения методом
линий скольжения
Рассмотрим случай волочения при отсутствии трения в условиях плоской схемы. Принято считать, что результаты этого анализа в качестве первого приближения могут быть использованы при изучении волочения в условиях осевой симметрии.
Поля линий скольжения, отвечающие граничным условиям волочения без противонатяжения, согласно [4], могут быть различными.
В качестве примера рассмотрим одно из возможных решений с помощью сетки линий скольжения, имеющей два центрированных веера с центрами в точках А и О.
Рис. 7. Поле линий скольжения при волочении
Линии скольжения пересекают стенку матрицы под углом /4. При этом АС – отрезок - линии, ОС – отрезок - линии (рис. 7). В области АОС все линии прямые, поэтому напряжения в этой области постоянны и, следовательно, давление на стенку матрицы однородно.
Из условий симметрии следует, что линии скольжения, проходящие через точку F, наклонены к оси под углом /4. На крайней - линии ABF должно выполняться условие равновесия в виде
=
0, (11)
где р и k – нормальная и касательная составляющие напряжения на любом отрезке dS линии ABF.
Для определения усилия волочения необходимо определить напряжения z в любой точке на отрезке АО.
На линии АВF ср + 2k = const. Если в точке F значение среднего напряжения ср,0, то для линии ABF
(12)
Обозначим h
– расстояние между точками A
и F по оси z.
А по оси х это расстояние равно
.
Тогда для интеграла (11) получим:
Подставляя ср = р из (12) в интеграл (11), получим:
(13)
Найдя для точки В и подставляя найденное значение в уравнение (13), определим
(14)
Двигаясь вдоль линии ВСО, на которой ср – 2k = const, найдем среднее напряжение в точке С:
(15)
В области треугольника АОС линии скольжения представляют собой прямые линии, поэтому напряжения в каждой точке треугольника одинаковы. При условии, что z,0 = ср,C + k, получим усилие волочения Рдеф:
(16)
Напряжение волочения (для сравнения с выражением (8), получим
(17)
Подставляя в (17) значение среднего напряжения из (14), получаем
(18)
Интегрирование уравнения (18) можно выполнить графически.