3.1.2. Логические следствия
Пусть − конечное множество формул и − формула. Формула называется логическим следствием формул множества , если истинна на всякой интерпретации, на которой истинны одновременно все формулы . В этом случае используют запись
╞ . (1)
Формулы называются гипотезами или посылками, или допущениями. Формулу называют еще заключением.
В частности, если , то пишут ╞ .
Ясно, что тавтология (тождественно истинная формула) есть логическое следствие всякого множества формул, в том числе, пустого. Поэтому для тавтологии используют обозначение
╞ . (2)
Запись вида (1) назовем правилом вывода или, следуя [1] клаузой. Будем говорить, что клауза верна, если формула действительно логическое следствие формул и неверна, если логическое следствие места не имеет. Знак ╞ (знак клаузы) читается как «следовательно», «значит», «поэтому» и т.п.
Если вместо аргументов формул , подставить конкретные высказывания, клауза наполнится конкретным содержанием, которое мы будем называть легендой.
Примеры решения задач.
1. Докажем справедливость логического следствия
╞ .
Доказательство. Пусть , что и требовалось.
Пусть теперь «этот человек умен», «этого человека невозможно подкупить лестью». Тогда «умного человека невозможно подкупить лестью», а легенда такова.
Этот человек умен. Умного человека невозможно подкупить лестью. Значит, этого человека невозможно подкупить лестью.
2. Верно ли логическое следствие ╞ ?
Решение. Составим таблицу истинности
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
(1 |
1) |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
(1 |
1) |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
(1 |
1) |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
(1 |
1) |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
(1 |
1) |
0 |
Формулы слева от знака клаузы одновременно равны 1 на пяти наборах значений аргументов. На двух из этих пяти интерпретаций формула слева от знака клаузы равна 0 (нули отмечены символом «←»). Следовательно, формула не есть логическое следствие формул , клауза не верна.