- •§ 2. Характеристики суммы случайных функций
- •§ 3. Характеристики производной от случайной функции
- •§ 4. Характеристики интеграла от случайной функции
- •Тема 2. Каноническое разложение
- •Тема 3. Стационарные случайные процессы § 1. Характеристики стационарной случайной функции
- •§2. Стационарно связанные случайные функции
- •§ 6. Спектральная плотность стационарной случайной функции
- •§ 7. Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной динамической системой
§ 3. Характеристики производной от случайной функции
Говорят, что последовательность случайных величин Х1, Х2 ..., Хn сходится в среднеквадратичном к случайной величине Х, если математическое ожидание квадрата разности Хn—X стремится к нулю при n→∞: М[(Хn—Х)2] = 0. Случайную величину X называют пределом в среднеквадратичном последовательности случайных величин X1, X2,..., Хn, ... и пишут: X = l.i.m. Хn.
Случайную функцию X (t) называют дифференцируемой, если существует такая функция X' (t) (ее называют производной), что
l.i.m
Таким образом, производной случайной функции X'(t) называют среднеквадратичный предел отношения приращения функции к приращению аргумента Δt при Δt → 0:
Теорема 1. Математическое ожидание производной X(t)= от случайной функции X (t) равно производной от ее математического ожидания:
Теорему 1 можно обобщить: математическое ожидание производной порядка п от случайной функции равно производной этого же порядка от ее математического ожидания.
Теорема 2. Корреляционная функция производной от случайной функции X(t) равна второй смешанной частной производной от ее корреляционной функции:
Теорема 3. Взаимная корреляционная функция случайной функции X (t) и ее производной равна частной производной от корреляционной функции по соответствующему аргументу [если индекс записан на первом (втором) месте, то дифференцируют по первому (второму) аргументу]:
Задачи
1.33 [794] Задано математическое ожидание mx(t)=t2+2t+1 случайной функции X(t). Найти математическое ожидание ее производной.
1.34 [795] Задано математическое ожидание mх(t)=t2+4 случайной функции Х(t). Найти математическое ожидание случайной функции Y(t)= tX'(t) + t2.
1.35 [796] Доказать, что математическое ожидание второй производной от дважды дифференцируемой случайной функции X (t) равно второй производной от ее математического ожидания.
1.36 [797] Задана корреляционная функция случайной функции X(t). Найти корреляционную функцию ее производной.
1.37 [798] Задана случайная функция X(t) =Ue3tcos2t, где U—случайная величина, причем М(U)=4, D(U)=l. Найти: а) математическое ожидание; 6) корреляционную функцию ее производной.
1.38 [799] На вход дифференцирующего звена поступает случайная функция X(t), корреляционная функция которой Kx=[Dxcosω(t2—t1)]/(t1+t2). Найти корреляционную функцию выходной функции Y(t) = X'(t).
1.39 [800] На вход дифференцирующего звена поступает случайная функция X(t) с математическим ожиданием mx(t)=5sint и корреляционной функцией . Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию выходной функции Y(t) = X'(t).
1.40 [801] Доказать, что взаимная корреляционная функция случайной функции X(t) и ее производной равна частной производной от корреляционной функции по аргументу, который «соответствует производной» [если индекс стоит на первом (втором) месте, то надо дифференцировать по первому (второму) аргументу]:
а) б)
1.41 [802] Заданы корреляционные функции: а) ; б) . Найти взаимные корреляционные функции случайной функции X(t) и ее производной.
1.42 [803] Известна взаимная корреляционная функция случайной функции X(t) и ее производной. Найти корреляционную функцию производной.
1.43 [804] Известна взаимная корреляционная функция случайной функции X(t) и ее производной. Найти корреляционную функцию производной.
1.44 [805] Найти корреляционную функцию случайной функции Z(t)=X(t)+X'(t), зная корреляционную функцию Kх.
1.45 [807] Доказать, что взаимная корреляционная функция случайной функции и ее второй производной равна частной производной второго порядка от корреляционной функции по аргументу, который «соответствует» производной [если индекс на первом (втором) месте, то дифференцируют корреляционную функцию по первому (второму) аргументу]:
1.46 [808] Задана корреляционная функция . Найти взаимные корреляционные функции случайной функции X(t) и ее второй производной.
1.47 [809] Найти корреляционную функцию случайной функции Y(t)=U(t)X(t)+V(t)X'(t), где X(t)—дифференцируемая случайная функция, корреляционная функция которой известна; V (t) и U (t)—неслучайные функции.
1.48 [810] Задана корреляционная функция случайной функции X(t). Найти взаимную корреляционную функцию Ryz случайных функций Y(t)=aX(t)+bX'(t) и Z(t)=cX'(t)+dX(t), где а, b, с, d—постоянные действительные числа.
Ответы
1.33 (t)=3t2+2. 1.34 my(t)=3t2. 1.36 1.37 a) (t)=4e3t(3cos2t-2sin2t); б) · · 1.38 1.39 a) my(t)=5cost; б) 1.41 a) б) . 1.42 1.43 1.44 1.46 1.47 Ky=U(t1)U(t2)Kx+V(t1)V(t2) +
+U(t1)V(t2) +U(t2)V(t1) .
1.48