§ 7. Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной динамической системой

Стационарной линейной динамической системой называют устройство, которое описывается линейным дифференциальным уравне­нием с постоянными коэффициентами вида

[a₀Y⁽ⁿ⁾(t)+a₁Y^(n-1)(t)+...+a_n]Y(t) = [b₀X^(m)(t)+b₁X^(m-1)(t)+...+b_m]X(t) , (*)

где X (t) - входная стационарная случайная функция (воздействие, возмущение), Y (t)—выходная случайная функция (реакция, отклик).

Если динамическая система устойчива, то при достаточно больших значениях t, т.е. по окончании переходного процесса, функцию Y(t) можно считать стационарной.

Математическое ожидание выходной функции Y(t) находят по формуле m_y=(b_m/а_n)m_х, где m_х—математическое ожидание входной функции X(t).

В операторной форме уравнение (*) имеет вид

(a₀pⁿ+a₁p^n-1+ ... +a_n)Y(t)= (b₀p^m+b₁p^m-1+ ... +b_m)X(t). (**)

Передаточной функцией линейной динамической системы называют отношение многочлена относительно р при X(t) к многочлену при Y (t) в операторном уравнении (**):

Ф(р)= (b₀p^m+b₁p^m-1+ ... +b_m)/ (a₀pⁿ+a₁p^n-1+ ... +a_n).

Частотной характеристикой линейной динамической системы называют функцию, которая получается заменой аргумента р в передаточной функции на аргумент iω (ω—действительное число):

Ф(iω) (b₀(iω)^m+b₁(iω) ^m-1+ ... +b_m)/ (a₀(iω)ⁿ+a₁(iω)^n-1+ ... +a_n).

Спектральные плотности выходной и входной функций связаны равенством s_y(ω)=s_x(ω)·|Ф(iω)|², т. е., чтобы найти спектральную плотность выходной функции, надо умножить спектральную плотность входной функции на квадрат модуля частотной характеристики. Зная же спектральную плотность выходной функции, можно найти ее корреляционную функцию

а, следовательно, и дисперсию

Задачи

3.107[910] На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением Y'(t)+2Y(t) = 5X'(t) + 6Х (t), подается стационарная случайная функция X (t) с математическим ожиданием m_х=5. Найти математи­ческое ожидание случайной функции Y(t) на выходе системы в установившемся режиме (после затухания пе­реходного процесса).

3.108[911] На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением Y'' (t) + 3Y'(t) + 5Y(t)= 4Х'(t) + 10Х(t) подается стационарная случайная функция Х(t) с математическим ожиданием m_х =2. Найти математическое ожидание случайной функции Y (t) на выходе системы в установившемся режиме.

3.109[912] На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением 3Y (t) + Y (t)= 4Х' (t)+ Х(t), подается стационарная случайная функция X (t) с корреляционной функцией k_x(τ)=6е^-2|τ|. Найти дисперсию случайной функции Y(t) на выходе системы в установившемся режиме.

3.110[913] На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением Y'(t)+3Y(t)=X'(t)+4Х(t), подается стационарная случайная функция X(t) с математическим ожиданием m_x=6 и корреляционной функцией k_x(τ)=5е^-2|τ|. Найти: а) математическое ожи­дание; б) дисперсию случайной функции Y(t) на выходе системы в установившемся режиме.

3.111[914] На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением Y" (t) + 5Y' (t) + 6Y (t) = X'(t) + X(t), подается стационарная случайная функция с математическим ожиданием m_х=4 и корреляционной функцией k_x(τ) = е^-|τ|. Найти: а) математическое ожидание; б) спектральную плотность случайной функции Y(t) на выходе системы в установившемся режиме.

3.112[915] На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением Y"'(t)+ 6Y" (t)+11Y'(t)+6Y(t)=7X''(t)+ +5X(t), подается стационарная случайная функция X(t) с известной корреляционной функцией: а) k_x(τ) = 4е^-|τ|; б) k_x(τ) = 2е^-|τ|. Найти спектральную плотность случайной функции Y(t) на выходе cистемы в установившемся режиме.

3.113[916] На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением Y'(t)+Y(t)=X(t), поступает стационарная случайная функция Х(t) с постоянной спектральной плотностью s₀ (белый шум). Найти дисперсию случайной функции Y(t) на выходе системы в установившемся режиме.

3.114[917] На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением Y"(t) +2hY'(t)+k²Y(t)=Х(t) (h>0), k h), поступает стационарная случайная функция X(t) с постоянной спектральной плотностью s₀ (белый шум). Найти спектральную плотность случайной функции Y(t) на выходе системы в установившемся режиме.

3.115[918] Спроектированы две линейные стационарные динамические системы, на вход которых поступает стационарная случайная функция X(t). Передаточные функции систем соответственно равны: Ф₁(р)=(4р+1)/(3р+1), Ф₂(р)=(p+1)/(Зр+1). Спектральная плотность выходной функции известна: s_x(ω)=12/π(ω² + 4). Какая из систем обеспечивает наименьшую дисперсию выходной функции?

Ответы

3.107 m_y=15. 3.108 m_y=4. 3.109 D_y=10. 3.110 а) m_y=8; б) D_y=22/3. 3.111 а) m_y=2/3; б) s_y(ω)=(1/π)[1/25ω²+(6-ω²)²]. 3.112 a) s_y(ω)=4(5-7ω²)²/ /π(ω²+1)²(ω²+4) (ω²+9); б) s_y(ω)=4(5-7ω²)²/π(ω²+1)³(ω²+4) (ω²+9). 3.113 D_y=s₀π. 3.114 s_y(ω)=s₀/(k²-ω²)²+4h²ω². 3.115 Вторая система: D_y1=10; D_y2=10/7.