Анализы взаимосвязей социально-экономических явлений

Элементы дисперсионного анализа

Дисперсионный анализ используется в практике статистики когда необходимо установить влияние факторного или причинного признака на результативный признак. При этом фактор признака обычно не выражается численно.

Сущность дисперсионного анализа заключается в разложении общей вариации результативного признака на компоненты или на части обусловленные влиянием учитываемого факторного признака и всех остальных неучтенных факторов.

Модели дисперсионного анализа принято классифицировать по числу исследуемых факторов и по характеру отбора уровней факторов (детерминированные и случайные)

Однофакторный дисперсионный анализ

Пусть имеется m генеральных совокупностей каждая из которых соответствует определенному уровню факторного признака из каждой генеральной совокупности извлекается выборка объем составляет n_i-единиц.

рассмотрим случай

i=1….m

Обозначим X_ij результатом j-го наблюдения зафиксированный при i-м уровне фактора.

Уровень фактора	Номер наблюдения
	1	2	……….	n
1	x11	x12	…….	x1n
2	x21	x22	………..	x2n
…….	………	………..	………..	………
m	xm1	xm2	………	xmn

Опираясь на эти данные необходимо проверить наличие или отсутствии влияния выбранного фактора

Установление влияния фактора основано на необходимости проверке гипотезы

H₀: =

Если гипотеза подтверждается то это говорит об отсутствии влияния факторов в противном случае влияние фактора можно считать установленным.

Для проверки данной гипотезы рассчитывают следующие величины

,

=

=

Общая вариация значения результативного показателя от общей средней

-

Q²=Q₁²+₂² – ОСНОВНОЕ ТОЖДЕСТВО ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА

Основное тождество гласит – общая вариация результативного признака (Q²) может быть разложено на две составляющие

Q₁² - часть общей вариации которая объясняется влиянием выбранного для анализа фактора(вариация групповых средних)

Q₂²- часть общей вариации которая объясняется влиянием всех остальных неучтенных факторов (внутригрупповая вариация)

Проверка нулевой гипотезы основана на количественном сравнении величин Q₁² и Q₂²

F =

Нулевая гипотеза принимается если выполняется соотношение

F < _{a(m-1; m(n-1))} (правосторонняя критическая граница Фишера с n-1 степенью свободы)

При невыполнении данного условия считается что выбранный для анализа фактор существенно влияет на результирующий показатель

Если влияние фактора установлено, то рассчитывают коэффициент детерминации

R²= *100%

Замечание: при проведении дисперсионного анализа предполагается, что изменение уровней фактора оказывает влияние только на изменение средних значений в генеральной совокупности и не оказывает влияние на генеральные дисперсии в каждой группе.

Это приводит к необходимости проверки гипотезы следующего содержания

H₀: Ϭ₁²= Ϭ₂²=…….= Ϭ_m²

Таким образом обща процедура проведения дисперсионного анализа

1. При каждом уровне фактора сделать выборку одинакового объема из генеральной совокупности результирующего показателя

2. Рассчитать групповые средние , ….. , (выборочную и общую среднюю)

3. Рассчитать внутригрупповые дисперсии , и проверить гипотезу о равенстве групповых дисперсий в генеральной совокупности результативного признака

4. Рассчитать общую вариацию Q² и компоненты вариации

5. Проверить основную гипотезу дисперсионного анализа о равенстве генеральных средних путем расчета F-статистики и её сравнения с критической границей

6. Если нулевая гипотеза отвергается то влияние фактора считается доказанным и рассчитывается коэффициент детерминации R²

При увеличении количества факторов дисперсионный анализ проводят путем разбиения общей вариации на компоненты, отражающие влияние первого, второго и т.д. фактора, а также компоненту который отражает влияние всех остальных неучтенных факторов.

\