1. Закон Кулона. Напряжение электростатического поля.

Закон Кулона- два неподвижных точечных заряда в вакууме взаимодействуют друг с другом с силой прямо пропорциональной произведению модулей зарядов и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними.

Напряженность электрического поля- Силовая характеристика электрического поля , численно равная электрической силе , действующая на единичный положительный заряд.

Силовые линии- Линии касательные к которым совпадают с вектором напряженности

Направление силовой линии совпадает с направление вектора напряженности

Чем гуще силовые линии, чем сильнее электрическое поле

Линии напряженности начинаются на положительных зарядах а заканчиваются на отрицательных или на бесконечности.

Если силовые линии поля параллельны ,то поле называют однородным

2. Потенциал электростатического поля.

Тело, которое находится в потенциальном поле сила (электростатическое поле, как уже известно, является потенциальным), обладает потенциальной энергией, за счет которой силы поля совершают работу. Как известно из классической механики, работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии. Значит работу сил электростатического поля можно считать как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный электрический заряд Q₀ в начальной и конечной точках поля заряда Q: (1) откуда мы видим, что потенциальная энергия заряда Q₀ в поле заряда Q равна Она, как и в классической механике, определяется неоднозначно, а с точностью до произвольной постоянной С. Если считать, что при перенесении заряда в бесконечность (r→∞) потенциальная энергия обращается в нуль (U=0), то С=0 и потенциальная энергия заряда Q₀, который находится в поле заряда Q на расстоянии r от него, равна (2) Для зарядов одинакового знака Q₀Q>0 потенциальная энергия их взаимодействия (в данном случае - отталкивания) положительна, для разноименных зарядов Q₀Q<0 и потенциальная энергия их взаимодействия (в данном случае - притяжения) отрицательна. Если поле создается системой n точечных электрических зарядов Q₁, Q₂, ..., Q_n, то работа электростатических сил, которая совершается над зарядом Q₀, равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности. Поэтому потенциальная энергия U заряда Q₀, который находится в этом поле, равна сумме потенциальных энергий U_i, каждого из зарядов: (3) Из формул (2) и (3) следует, что отношение U/Q₀ не зависит от Q₀ и является поэтому энергетической характеристикой электростатического поля, которая называется потенциалом: (4) Потенциал φ в какой-либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку. Из формул (4) и (2) следует, что потенциал поля, создаваемого точечным зарядом Q, равен (5) Работа, которую совершают силы электростатического поля при перемещении заряда Q₀ из точки 1 в точку 2 (см. (1), (4), (5)), может быть выражена как (6) т. е. равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках. Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой, которая совершается силами поля, при перемещении единичного положительного электрического заряда из точки 1 в точку 2. Работа сил поля при перемещении заряда Q₀ из точки 1 в точку 2 может быть выражена как (7) Приравняв (6) и (7), придем к формуле для разности потенциалов: (8) где интегрирование можно производить вдоль любой линии, которая соединяет начальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения. Если перемещать заряд Q₀ из произвольной точки за далеко пределы поля, т. е. в бесконечность, где, по условию, потенциал равен нулю, то работа сил электростатического поля, согласно (6), A_∞=Q₀φ, откуда (9) Значит, потенциал — физическая величина, которая определяется работой по перемещению единичного положительного электрического заряда при удалении его из данной точки поля в бесконечность. Эта работа численно равна работе, которую совершают внешние силы (против сил электростатического поля) по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку поля. Из выражения (4) видно, что единица потенциала — вольт (В): 1 В равен потенциалу такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж (1 В = 1 Дж/Кл). Учитывая размерность вольта, можно показать, что введенная ранее единица напряженности электростатического поля действительно равна 1 В/м: 1 Н/Кл=1 Н•м/(Кл•м)=1 Дж/(Кл•м)=1 В/м. Из формул (3) и (4) следует, что если поле создается несколькими зарядами, то потенциал данного поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов:

3. Связь потенциала с напряженностью.

Напряженность и потенциал является характеристикой одной и той же точки поля , значит они связанны между собой

Будем искать, каким образом связаны напряженность электростатического поля, которая является его силовой характеристикой, и потенциал, который есть его энергетическая характеристика поля. Работа по перемещению единичного точечного положительного электрического заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены достаточно близко друг к другу и x₂—x₁=dx, равна E_xdx. Та же работа равна φ₁—φ₂=dφ. Приравняв обе формулы, запишем (1) где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование осуществляется только по х. Повторив эти рассуждения для осей у и z, найдем вектор Е: где i, j, k — единичные векторы координатных осей х, у, z. Из определения градиента следует, что или (2) т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус говорит о том, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону уменьшения потенциала. Для графического представления распределения потенциала электростатического поля, как и в случае поля тяготения, пользуются эквипотенциальными поверхностями — поверхностями, во всех точках которых потенциал φ имеет одинаковое значение. Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал, согласно формуле потенциала поля точечного заряда, φ=(1/4πε₀)Q/r .Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае — концентрические сферы с цетром в точечном заряде. Заметим также, линии напряженности в случае точечного заряда — радиальные прямые. Значит, линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Линии напряженности всегда перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям. В самом деле, все точки эквипотенциальной поверхности обладают одинаковым потенциалом, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т. е. электростатические силы, которые действуют на заряд, всегда направлены по перпендикурярам к эквипотенциальным поверхностям. Значит, вектор Е всегда перпендикулярен к эквипотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора Е перпендикулярны этим повер¬хностям. Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесконечное множество. Но обычно их проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были равны друг другу. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где гуще расположены эти поверхности, напряженность поля больше. Значит, зная расположение линий напряженности электростатического поля, можно нарисовать эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному нам расположению эквипотенциальных поверхностей можно найти в каждой точке поля направление и модуль напряженности поля. На рис. 1 в качестве примера показан вид линий напряженности (штриховые линии) и эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) полей положительного точечного электрического заряда (а) и заряженного металлического цилиндра, который имеет на одном конце выступ, а на другом — впадину (б).

4. Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса для потока вектора напряженности.

       Итак, на примерах мы показали, что, если силовые линии однородного электрического поля напряженностью   пронизывают некоторую площадку S, то поток вектора напряженности (раньше мы называли число силовых линий через площадку) будет определяться формулой:

где E_n – произведение вектора   на нормаль   к данной площадке (рис. 2.5).

  Рис. 2.5

       Полное число силовых линий, проходящих через поверхность S называется потоком вектора напряженности Ф_Е через эту поверхность.

       В векторной форме можно записать   – скалярное произведение двух векторов, где вектор  .

       Таким образом, поток вектора   есть скаляр, который в зависимости от величины угла α может быть как положительным, так и отрицательным.

       Рассмотрим примеры, изображенные на рисунках 2.6 и 2.7.

Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность , равен алгебраической сумме зарядов, заключенной внутри этой поверхности , деленной на электрическую постоянную Е0