I этап. Локализация корней.
Уравнение должно быть представлено в таком виде, чтобы его правая часть не содержала переменную. Так как мы ищем корни полинома третьей степени, то имеются не более трех вещественных корней.
Для локализации корней, т. е. нахождения интервалов на которых эти корни существуют, необходимо построить таблицу значений функции (Y) при различных значениях аргумента (X). Построение такой таблицы описано в лабораторной работе № 7. Такими интервалами могут служить промежутки, на концах которых функция меняет знак.
Протабулируем наш полином на интервале [-1;1] с шагом 0,2.
Для этого необходимо:
ввести в ячейки А1, В1, С1 и D1 соответственно буквы X, Y, текст "Приближенное значение корня" и текст "Значение функции";
в диапазон (А2:А12) ввести числа от –1 до 1 с шагом 0,2;
в ячейку В2 ввести формулу: = А2^3 – 0,01·А2^2 – 0,7044·А2 + 0,139104;
скопировать формулу в ячейке В2 на диапазон (В2:В12).
Таким образом, мы протабулировали аргумент и функцию. Из полученной таблицы видно, что функция (Y) меняет знак три раза. При этом интервалы изменения аргументов (Х), соответствующие изменениям знака функции, равны [–1; –0,8], [0,2; 0,4], [0,6;08] и следовательно на каждом из них находится свой корень. Так как полином третьей степени имеет не более трех корней, а мы локализировали три корня, то можно считать I этап завершенным. В противном случае расширить интервал табуляции.
II этап. Подготовительный.
Для его выполнения необходимо:
установить точность с которой находятся корни. Для этого выполните команду Сервис/Параметры/вкладка Вычисления и задайте относительную погрешность и предельное число итераций 0,00001 и 1000 соответственно;
выбрать ячейку под искомый корень, например ячейку С2, в которой вначале будет храниться начальное приближенное значение корня;
ввести в ячейку С2 среднее значение из первого интервала [–1; –0,8], т. е. значение – 0,9.
выбрать ячейку, например D2, под функцию для которой ведется поиск корня. Вместо X в формулу ввести С2, т. е. адрес ячейки где хранится начальное приближенное значение корня = С23 – 0,01·С22 – 0,7044·С2 +0,139104
выполнить предыдущие операции с двумя другими корнями, введя их начальные значения в ячейки С3, С4, а уравнения, содержащие ссылки на эти ячейки в ячейки D3 и D4 соответственно.
III Этап. Нахождение корней.
Для его выполнения необходимо:
выполнить команду Сервис/Подбор параметра и в диалоговом окне Подбор параметра в поле Установить в ячейке ввести абсолютную ссылку на ячейку D2 (т. е. ячейку в которую занесена формула). В поле Значение введите ноль (указывается значение из правой части уравнения). В поле Изменяя значение ячейки введите абсолютную ссылку на ячейку С2 (в данном поле приводится ссылка на ячейку, отведенную под переменную). Для получения абсолютных ссылок на ячейки D2 и C2 целесообразно при нахождении курсора мыши в поле Установить в ячейке или Изменяя значение ячейки щелкнуть левой кнопкой мыши по соответствующим ячейкам.
нажать кнопку ОК. В результате в ячейку С2 будет помещено значение корня –0,919999, вычисленного с заданной ранее точностью 0,00001. В открывшемся окне Результат подбора параметра нажмите кнопку ОК для фиксации результата;
два других корня ищутся аналогично. Результат 0.21000 и 0.71999.
Задание по работе
В соответствии со своим вариантом выполните построение двух графиков в одной системе координат и решите уравнение. Сохраните результаты выполнения работы в своей папке на диске.
Задание 1. Постройте в одной системе координат графики функций Y и Z. Отформатируйте графики по своему усмотрению. По оси Х должны быть отложены значения аргумента, а по оси Y – функций. Легенда должна содержать две надписи Y и Z, соответствующие двум строящимся графикам. Ввод числа π осуществляется с помощью команды Вставка/Функция категория Математические функция ПИ. Функция ПИ не имеет аргументов и вставляется в формулу в виде ПИ().
Варианты задания 1:
1
.
Y = 2 sin(x)·cos(x);
Z = 3cos2(x) ·sin(x).
2
.
Y = 2 sin(πx) – 3cos(πx);
Z = cos2(2πx) – 2sin(πx).
3
.
Y = 5 sin(πx) – cos(3πx) ·sin(πx);
Z = cos(2πx) – 2sin3(πx).
4.
Y = 3 sin(2πx)·cos(πx) – cos2 (3πx);
Z = 2 cos2(2πx) – 3sin(3πx).
5.
Y = 2 sin(π x) ·cos (π x);
Z =cos2(πx)·sin(3πx).
6.
Y = 3 sin(3πx) ·cos(2πx);
Z = cos3(4πx) ·sin(πx).
Задание 2. Решите уравнение, установив точность 0,00001. Выберите интервал табуляции [–3;3]. При необходимости расширьте этот интервал. Выполните проверку правильности решения методом подстановки (для каждого корня).
Варианты задания 2:
1. x3 – 2,92·x2 + 1,4355·x + 0,791136 = 0.
2. x3 – 2,56·x2 + 1,3251·x + 4,395006 = 0.
3. x3 + 2,84·x2 – 5,6064·x – 14,766336 = 0.
4. x3 + 1,41·x2 – 5,4724·x – 7,380384 = 0.
5. х3 + 0,85·x2 – 0,4317·x + 0,043911 = 0.
6. x3 – 0,12·x2 – 1,4775·x + 0,191906 = 0.