Система называется устойчивость по входу, если при любом ограниченном

воздействии f(t) ее реакция у(t) является ограниченной. Устойчивость по вхо-

ду характеризует свойство оператора преобразования вход-выход и анализи-

руется ао модели (см.рис.2.5.).

Устойчивость вход-выход в случае модели рассматриваемого класса имеет

место, если: система устойчива по начальным условиям, т.е. корни ее харак-

теристического полинома находятся в левой полуплоскости; передаточная

функция системы осуществима (физически реализуема), т.е. степень полино-

ма числителя не превышает степень полинома знаменателя.

Критерии устойчивости.

Для выявления устойчивости не обязательно знание корней, так как в усло-

виях широкого применения ЭВМ их вычисление не представляет больших

трудностей.

j Вынужденные движения неав-

тономных линейных систем

s представляется как сумма уста-

новившихся движений, опреде-

ляемых полюсами изображе-

ний воздействий и переходных

процессов из-за посленулевых

начальных условий, вызванных

0 приложением воздействий.

Если системы асимптотически

устойчивы, то с течением вре-

мени процессы стремятся к ус-

новившимся

Рис.2.20.Пример расположения lim у(t) = у_уст(t).

корней устойчивости t  ∞

Для установления устойчивости системы или звена, не вычисляя корней характеристического полинома, применяют критерии устойчивости, которые

с помощью относительно простых вычислений позволяют установить, лежат

ли все корни в левой полуплоскости.

Имеют место алгебраические и частотные критерии устойчивости. К алгеб-

раическим относятся критерии Гурвица и Рауса, а к частотным – критерии Михайлова и Найквиста.

Необходимое условие устойчивости.

При определении устойчивости по характеристическому полиному следует

проверить выполнение необходимого условия: чтобы все корни полинома

имели отрицательные действительные части, все его коэффициенты должны быть одного знака (положительными).

Типовое апериодическое звено первого порядка (n=1) устойчиво при Т  0;

устойчивы звенья второго порядка при Т  0. Интегрирующее (n=1) и консер-

вативное (n=2) звенья не удовлетворяют условию положительности всех ко-

эффициентов. Они имеют корни на мнимой оси. Это соответствует устойчи-

вости по начальному состоянию (по Ляпунову); однако нет асимптотической устойчивости. Следует отметить, что звенья или системы, имеющие некрат-

ные корни характеристического полинома на мнимой оси (а остальные – ле-

вые), находятся на границе устойчивости. Такие системы являются негрубы-

ми – они теряют устойчивость при малейших изменениях параметров.

Алгебраические критерии.

Пусть характеристический полином звена или системы автоматического уп-

равления имеет вид:

A(s) = a_o + a₁s + ….+ a_{n –1}s^{n – 1} + a_nsⁿ (2 – 24)

Критерий Гурвица. Для асимптотической устойчивости необходимо и дос-

таточно, чтобы при а_n 0 все диагональные определители матрицы Гурвица

были положительны. Например, для системы третьего порядка:

A(s) = a_o + a₁s + a₂s² + a₃s₃ (2 – 25)

матрица Гурвица имеет вид

a₂ a_o 0

H= a₃ a₁ 0

0 a₂ a_o

Если выполнено необходимое условие положительности коэффициентов полинома А(s), то следует проверить только знак определителя

₂ = а₁а₂ – а_оа₃ (2 – 26)

Для устойчивости системы третьего порядка произведение средних коэф-

фициентов характеристического полинома должно быть больше произведе-

ния кратных.

С помощью критерия Гурвица можно строить границы устойчивости в про-

странстве коэффициентов полинома или параметров системы управления.

Для систем высоких порядков критерий Гурвица не очень удобен – многок-

ратное вычисление определителей становится трудоемким и избыточным. В

этом случае предпочтительнее применение критерия Рауса, имеющего также алгоритмическую форму. Этот критерий позволяет быстро определить устой-

чивость системы, если имеется ее характеристический полином А(s) и зада- ны численно его коэффициенты. Критерий Рауса наиболее экономичен по объему вычислений в сравнении с другими критериями. Он широко приме-

няется для анализа влияния параметров системы на ее устойчивость с испо-

льзованием ЭВМ, так как алгоритм вычислений удобен для программирова-

ния.

Частотный критерий Михайлова.

Критерий Михайлова базируется на принципе аргумента. Выражение для характеристического полинома А(s) рассматривается как функция комплек-

сного переменного, принимающего значения на положительной мнимой по-

луоси. Критерий сводится к анализу изменения аргумента функции A(j).

Согласно критерию Михайлова, для устойчивости системы необходимо и

достаточно, чтобы годограф вектора A(j), начинаясь при  = 0 на действи-

тельной положительной полуоси, с ростом  нуля до бесконечности обходил

последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n

квадрантов, где n – порядок системы: arg A(j) = n /2.