- •Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Исследование функции методами дифференциального исчисления и построение её графика
- •Неопределённый и определённый интегралы Теоретические вопросы
- •Исследование функции методами дифференциального исчисления и построение её графика Теоретические вопросы
- •Задачи и примеры Часть 2
- •Решение типовых примеров.
- •Неопределённый и определённый интегралы Теоретические вопросы
- •Задачи и примеры Часть 3
- •Решение типовых примеров.
- •Задачи и примеры Часть 4
- •Решение типовых примеров
- •Тема 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной……… … …2
- •Тема 2. Неопределённый и определённый интегралы………………… ………… 12
- •Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Исследование функции методами дифференциального исчисления и построение её графика
- •Неопределённый и определённый интегралы Теоретические вопросы
Решение типовых примеров.
Найти неопределённые интегралы. Проверить результат дифференцированием (в одном из примеров).
а) б)
в) г)
д) е)
Решение.
а)
=
б)
в)
Нужно использовать формулу интегрирования по частям:
Для этого обозначим тогда
Тогда, применяя формулу интегрирования по частям, получим
г)
д)
Использована формула: . е)
Проверим результат интегрирования в примере д) дифференцированием:
Получили подынтегральную функцию. Следовательно, интеграл нашли верно.
Задачи и примеры Часть 4
В задачах 1 4 найти с помощью определённых интегралов
1) Площадь плоской фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными параболой, прямой и осью ОХ;
2) Объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ данной плоской фигуры.
1.
2.
3.
4.
Решение типовых примеров
Пример 1. Найти с помощью определённого интеграла площадь плоской фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной параболой прямой и осью OX ( рис.3 ).
Решение. Сделаем чертёж: в осях ХОУ построим параболу и прямую и заштрихуем искомую площадь, расположенную в первом квадранте. Затем найдём абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первом квадранте. Для этого приравняем правые части уравнений параболы и прямой и решим полученное квадратное уравнение или Корни этого уравнения Первому квадранту соответствует корень
Найдём абсциссу точки пересечения прямой с осью ОХ Решим уравнение , откуда
Искомая площадь фигуры где площадь фигуры, ограниченной данной параболой , вертикальной прямой и осью ОХ ; площадь фигуры, ограниченной вертикальной прямой данной прямой и осью ОХ . Вычислим искомые площади:
(кв.ед.)
(кв.ед.)
Общая площадь (кв.ед.)
Пример 2. Найти с помощью определённого интеграла объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной параболой прямой и осью ОХ (рис.3).
Решение. Можно считать, что тело вращения ограничено при поверхностью, образованной вращением параболы вокруг оси ОХ , а при поверхностью, образованной вращением прямой вокруг оси ОХ .
Таким образом, общий объём тела вращения будет складываться из двух объёмов:
Вычислим эти объёмы по формулам:
(куб.ед.)
Для вычисления этого интеграла используем метод замены переменной.
Пусть Тогда или отсюда Определим новые пределы интегрирования, соответствующие переменной : при а при
(куб.ед.)
(куб.ед.)
Рис. 3
Ответ : площадь плоской фигуры (кв. ед.),
объём тела вращения (куб. ед.)
С О Д Е Р Ж А Н И Е