Полная факторная матрица

^{ОБЩИЕ ФАКТОРЫ ХАРАКТЕРНЫЕ ФАКТОРЫ}

Редуцированная факторная матрица включает в себя только левую часть полной факторной матрицы, то есть без характерных факторов.

Так как в факторном анализе основное внимание уделяется общим факторам, то, как правило, для выделения фактора используют корреляционную редуцированную матрицу и факторную редуцированную матрицу.

Если выделять факторы в полной матрице, то можно получить столько факторов, сколько переменных, то есть каждая переменная будет находиться в одном факторе, и, следовательно, вся процедура теряет смысл. Ранг такой матрицы равен количеству строк.

Ранг редуцированной матрицы равен максимальному количеству факторов, которые можно выделить.

При выделении факторов цель состоит в переходе от редуцированной матрицы корреляции к редуцированной факторной матрице, которая позволит определить:

1) сколько общих факторов необходимо для отражения всех корреляций между переменными изучаемой серии. Число общих факторов равно общему числу столбцов редуцированной факторной матрицы

2) каковы нагрузки каждого фактора для разных переменных. Нагрузки всех факторов для одной переменной образуют строки факторной матрицы.

В основе процедуры факторного анализа лежит уравнение для некоррелированных факторов, его называют основным уравнением факторного анализа:

где R – редуцированная корреляционная матрица

F – редуцированная факторная матрица

F^T – транспонированная редуцированная факторная матрица

Теорема: редуцированная матрица корреляции равна произведению редуцированной факторной матрицы на транспонированную.

Методы решения основного уравнения факторного анализа называются методами факторизации. В настоящее время чаще используются 2 метода: центроидный и метод максимального правдоподобия.

Представляет интерес проблема минимального числа переменных n (вопросов), необходимых для однозначного определения m факторов. Ответ на этот вопрос дает формула Тэрстоуна:

В приведенной ниже таблице даны значения n, соответствующие различным m:

m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	3	5	6	8	9	10	12	13	14	15

Если преобразовать приведенную формулу для получения m факторов в случае n переменных, то есть если известно количество вопросов (переменных), то можно узнать максимально возможное количество факторов, которое можно выделить:

На практике целесообразно оперировать числом переменных, превышающих минимально необходимое для определения данного числа факторов.

Техники выделения факторов

1. Техники R и Q:

^ЛЮДИ ТЕСТЫ	А	В	С	Д	Е	F
1	А1	В1	……..	……..	……..	F 1	Две коррелирующих строки – Техника R
2	A2	B2	………..	……..	………	F2
3	A3	B3	……..	………	………	F3
4	A4	B4	………..	………	……..	F4
5	A5	B5	……..	……….	……..	F5
6	A 6	B 6	……….	……….	…….	F6
	Два коррелирующих столбца – техника Q

C помощью техники R при небольшом количестве вопросов изучается большая группа лиц.

С помощью техники Q с помощью большого количества вопросов изучается небольшое количество лиц (совокупностей, лиц).

2. Техники Р и О:

Техника Р похожа на технику R, но в отличие от нее вместо большого количества людей (семей, совокупностей) берется 1 семья (человек, совокупность) в разных условиях (в динамике) - панельные исследования, то есть нужно малое количество вопросов (тестов) и большое количество случаев. В факторы попадают вопросы.

Техника О похожа на технику Q, но вместо изучаемой группы людей берутся случаи (как в технике Р). Только берется небольшое количество случаев и большое количество вопросов. В факторы попадают случаи.

Вывод: факторы, полученные с помощью техник R и Р являются теми же, что и в техниках Q и О. Если, например, с помощью техники R определяется фактор механической способности человека, то техника Q дает фактор лиц со способностями к механике.

При выборе одной из рассмотренных техник решающее значение имеет цель работы. Определяющую роль играют, например, число людей, которых удается собрать для проведения исследования. При большом числе людей всегда лучше использовать технику R. Если нельзя собрать более 10-20 человек, нужно использовать технику Q и большие серии вопросов. Эта техника требует больших затрат времени и труда. Техника R является более экономичной.