87.Прямое и обратное преобразования Фурье.
Периодическая функция времени, подчиняющаяся условиям Дирихле(Функция – есть функция, ограниченной вариации на каждом конечном интервале , на котором она ограничена и имеет конечное число относительных максимумов и минимумов и точек разрыва первого рода), может быть разложена в ряд Фурье.
,
где k – порядок гармоники, – основная гармоника процесса.
, , - коэффициенты Фурье
= + = +
+ =
Подставим значения , , :
Введем обозначения:
) , e →1
) - частотный спектр сигнала в комплексном виде
x(t)
X(t) – обратное преобразование Фурье (временной сигнал в частотный спектр)
Этот ряд в комплексной форме имеет вид:
, k=±1, ±2, ±3, ...
X(t) - обратное преобразование Фурье
- прямое преобразование Фурье
88.Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию z(s) комплексного переменного (изображение) с функцией z(t) действительного переменного (оригинала). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.
Многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями.
Сущность и основные свойства преобразования Лапласа
Линейность
Изображение линейной комбинации функций равно линейной комбинации изображений с теми же коэффициентами.
где a и b – произвольные комплексные числа.
Теорема подобия
где a>0.
Дифференцирование оригинала
...
Дифференцирование изображения
Интегрирование оригинала
Интегрирование изображения
Теорема смещения
Теорема запаздывания
Теорема умножения (свёртки)
Примеры преобразования Лапласа для некоторых функций:
Оригинал
Изображение
;
;
;
;
;
;
;
(ступенчатая функция);
(импульсный сигнал).
Применения преобразования Лапласа
Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях математики (операционное исчисление), физики и техники.
Решение систем дифференциальных и интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа легко переходить от сложных понятий математического анализа к простым алгебраическим соотношениям.
Расчёт передаточных функций динамических систем, таких, к примеру, как аналоговые фильтры.
Расчёт выходных сигналов динамических систем в теории управления и обработке сигналов — так как выходной сигнал линейной стационарной системы равен свёртке её импульсной характеристики с входным сигналом, преобразование Лапласа позволяет заменить эту операцию на простое умножение.
Расчёт электрических схем. Производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.
Решение нестационарных задач математической физики.
Вывод: применение изображения Лапласа позволяет заменить операции диффер. и интегрирования на обычные алгебраические позиции.
89.Прямое преобразование Лапласа
Преобразованием
Лапласа функции действительной переменной
,
называется функция
комплексной переменной
- оператор Лапласа, такая что:
-преобразование Лапласа от временной функции
где z(t) – оригинал; z(s) - изображение
Обратное преобразование Лапласа
Обратным
преобразованием Лапласа функции
комплексного переменного
называется
функция
действительного переменного, такая
что:
где
—
некоторое вещественное число
Условия существования прямого преобразования Лапласа
Преобразование Лапласа существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:
Случай
:
преобразование Лапласа существует,
если существует интеграл
Случай δ > δa: преобразование Лапласа существует, если интеграл
существует для каждого конечного
t1
> 0 и
для t
> t₂
≥0
Случай δ > 0 или δ > δa (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции z(t) (производная к z(t)) для δ > δa.
Примечание: это достаточные условия существования.
Условия существования обратного преобразования Лапласа
Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:
1. Если изображение z(s) — аналитичная функция для δ ≥ δa и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём
для
90.Операционное
исчисление — один из методов математического
анализа, позволяющий в ряде случаев с
помощью весьма простых средств решать
сложные математические задачи. Сущность
символического исчисления состоит в
том, что вводятся в рассмотрение и
надлежащим образом интерпретируются
функции оператора дифференцирования
Строгое
обоснование было дано значительно
позже, когда была установлена связь
между функциональным преобразованием
Лапласа
и
оператором
дифференцирования Именно, если существует
производная
,
для которой
существует
и f(0) = 0, то
Лапласа оператор, лапласиан, дельта-оператор, S-оператор, линейный дифференциальный оператор, который функции j(x1, x2,..., xn) от n переменных x1, x2,..., xn ставит в соответствие функцию
S(j)=
.
В частности, для функции j(x, y) двух переменных х, у Лапласа оператор имеет вид
S(j)
=
,
а для функций одной переменной j(x) Лапласа оператор совпадает с оператором второй производной
S(j)
=
.
Лапласа оператор встречается в тех задачах математической физики, где изучаются свойства изотропной однородной среды (распространение света, тепла, движение идеальной несжимаемой жидкости и т.п.).
Уравнение S = 0 обычно называется Лапласа уравнением; отсюда и произошло название Лапласа оператор
Опера́тор
Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта)
— дифференциальный оператор, действующий
в линейном пространстве гладких функций
и обозначаемый символом
. Функции
он ставит в соответствие функцию
.
Оператор
Лапласа эквивалентен последовательному
взятию операций градиента и дивергенции:
, таким образом, значение оператора
Лапласа в точке может быть истолковано
как плотность источников (стоков)
потенциального векторного поля
в этой точке. В декартовой системе
координат оператор Лапласа часто
обозначается следующим образом
, то есть в виде скалярного произведения
оператора набла на себя.
Другое определение оператора Лапласа
Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одного переменного. В самом деле, если функция имеет в окрестности точки непрерывную вторую производную , то, как это следует из формулы Тейлора
при
при
вторая производная есть предел
Если, переходя к функции от переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки рассматривать её -мерную шаровую окрестность радиуса и разность между средним арифметическим
функции на границе такой окрестности с площадью границы и значением в центре этой окрестности , то в случае непрерывности вторых частных производных функции в окрестности точки значение лапласиана в этой точке есть предел
Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции , имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула
где
— объём окрестности
Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.
Доказательство этих формул можно найти, например, в [1].
Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.
92.Изображение функции-оригинала z(t) называют функцию z(s) комплексной переменной
S = δ + jω, которую определяют равностью:
- интеграл Лапласа
s - оператор Лапласа
Совокупность всех оригиналов z(t) называют пространством оригиналом, а совокупность изображений z(s) –пространством изображений.
z(t)=1(t) – единичная функция Хэвисайда или единичная ступенчатая функция
Используя интеграл Лапласа получим:
, s>0
93. Изображение функции-оригинала z(t) называют функцию z(s) комплексной переменной
S = δ + jω, которую определяют равностью:
- интеграл Лапласа
s - оператор Лапласа
Совокупность всех оригиналов z(t) называют пространством оригиналом, а совокупность изображений z(s) –пространством изображений.
x(t)=1(t) – единичная функция Хэвисайда или единичная ступенчатая функция
Используя интеграл Лапласа получим:
, s>0
Используя свойства преобразования Лапласа (подобие):
,то для любой
постоянной а ˃ 0
Решим:
Получаем:
, c-
константа
94. Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей или простых дробей, называют типовыми или элементарными звеньями. Типовые звенья различаются по виду их передаточной функции, определяющей их статические и динамические свойства.
Звенья, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядка, называются типовыми динамическими звеньями.
Усилительное звено (безынерционное, пропорциональное). Усилительным называют звено, которое описывается уравнением:
(2)
или передаточной функцией:
(3)
Примеры звена: Усилители, например, постоянного тока