- •Псковский государственный политехнический институт
- •Н.В. Мотина
- •Дискретная математика
- •Методические указания по выполнению контрольных работ
- •230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»,
- •230201 «Информационные системы и технологии»
- •Псков Издательство ппи
- •Часть 1. Краткий теоретический материал 6
- •Часть 2 47
- •Порядок выполнения контрольной работы
- •Часть 1. Краткий теоретический материал
- •1. Операции над множествами
- •1.1. Понятие множества
- •1.2. Объединение, пересечение, дополнение, разность множеств
- •1.3. Прямое произведение множеств
- •Контрольные вопросы
- •2. Отношения
- •2.1. Понятие бинарного отношения
- •2.2. Обратное отношение
- •2.3. Композиция отношений
- •2.4. Векторы
- •Контрольные вопросы
- •3. Соответствия
- •Контрольные вопросы
- •4. Виды графов
- •4.1. Понятие графа
- •4.2. Связность
- •4.3. Планарность
- •4.4. Деревья
- •Контрольные вопросы
- •5. Способы задания графов
- •5.1. Матрица смежности
- •5.2. Матрица инциденций
- •Контрольные вопросы
- •6. Маршруты, цепи, циклы
- •6.1. Основные определения
- •6.2. Эйлеровы циклы
- •6.3. Гамильтоновы циклы
- •Контрольные вопросы
- •7. Преобразование логических выражений
- •7.1. Понятие логической функции
- •Продолжение табл.2
- •7.2. Тождества булевой алгебры
- •7.3. Правила преобразования некоторых логических функций
- •Контрольные вопросы
- •8. Минимизация логических функций
- •8.1. Минимизация с помощью карт Карно
- •8.2. Метод Квайна поиска СокДнф
- •8.3. Метод Квайна – Мак-Класки
- •8.4. Нахождение мкнф с помощью карты Карно
- •8.5. Минимизация логических функций, представленных в конъюнктивной форме, с использованием правил, аналогичных правилам минимизации логических функций в дизъюнктивной форме
- •8.6. Минимизация неполностью определенных логических функций с помощью карты Карно
- •8.7. Минимизация неполностью определенных логических функций без использования карты Карно
- •Контрольные вопросы
- •9. Свойства логических функций
- •Контрольные вопросы
- •Часть 2 Варианты заданий Задание 1. Операции над множествами
- •Задание 2. Отношения
- •Задание 3. Соответствия
- •Задание 4. Виды графов
- •Задание 5. Способы задания графов
- •Задание 6. Маршруты, цепи, циклы
- •Задание 7. Преобразование логических выражений
- •Задание 8. Минимизация логических функций
- •Задание 9. Свойства логических функций
- •Пример оформления контрольной работы
- •Рекомендуемая литература
- •Мотина Надежда Владимировна
Контрольные вопросы
1. Пусть x X, y Y и R – отношение между элементами множества, выражаемое соотношением xRy. Укажите, в каких случаях R можно рассматривать как функцию?
а) X – множество студентов, Y – множество учебных дисциплин, xRy означает «x изучает y».
б) X – множество спортсменов, Y – рост в единицах длины, xRy означает «x имеет рост y».
2. Пусть А = -2, -1, 0, 1, 2, а В = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Определим соответствие А В как = (-2, 5), (-1, 2), (0, 1), (2, 5). Каковы свойства соответствия f ?
3. Пусть R R, где R – множество действительных чисел. Найдите область значений и область определения следующих функций:
а) (х) = х 2 + 4; б) (х) = ;
4. Соответствие G определено графически. Найти образы и прообразы: чисел 1, 2, 4; отрезков [1, 2], [2, 4].
4. Виды графов
4.1. Понятие графа
Графом G(V, E) называется совокупность двух множеств – непустого множества V (множества вершин) и множества Е неупорядоченных пар различных элементов множества V (Е – множество ребер).
Число вершин графа (порядок графа) G обозначим p, а число ребер – q.
Пусть v1, v2 – вершины, е = (v1, v2) – соединяющее их ребро. Тогда вершина v1 и ребро е инцидентны, вершина v2 и ребро е также инцидентны. Два ребра, инцидентные одной вершине, называются смежными; две вершины, инцидентные одному ребру, также называются смежными. Таким образом, смежность есть отношение между однородными элементами графа, тогда как инцидентность – отношение между разнородными элементами.
П ример.
Данная диаграмма изображает граф, имеющий четыре вершины и пять ребер. В этом графе вершины v1 и v2 смежны, а вершины v1 и v3 не смежны. Смежные ребра: e1 и e5. Несмежные ребра: e1 и e3. Ребро е1 инцидентно вершинам v1 и v2, вершина v1 инцидентна ребрам е1 и е4.
Если элементами множества Е являются упорядоченные пары, то граф называется ориентированным (или орграфом). В этом случае элементы множества V называются узлами, а элементы множества Е – дугами.
Граф называют неориентированным, если он не имеет ориентированных ребер. Для краткости неориентированный граф называют также неографом. Иногда каждое ребро такого графа представляют как две дуги, направленные в противоположные стороны. Неориентированные графы можно считать частными случаями ориентированных графов, соответствующих симметричным бинарным отношениям, т.е. таким ориентированным графам, которые наряду с каждой дугой (u, v) содержат и дугу (v, u).
Граф, полученный после замены всех дуг в ориентированном графе на ребра, называется основанием.
Если элементом множества Е может быть пара одинаковых (не различных) элементов V, то такой элемент множества Е называется петлей, а граф называется графом с петлями (или псевдографом).
Если Е является не множеством, а набором, содержащим несколько одинаковых элементов, то эти элементы называются кратными (параллельными) ребрами, а граф называется мультиграфом или квазиграфом.
Максимальное число ребер, соединяющих две вершины графа, называется мультичислом графа.
Граф называется простым, если каждую пару вершин соединяет не более чем одно ребро и в графе отсутствуют петли.
Если вершины и/или ребра графа помечены (обозначены), то граф называется помеченным (или нагруженным). В качестве множества пометок обычно используются буквы или целые числа.
Граф, в котором каждая пара вершин смежна, называется полным. Полный граф с p вершинами обозначается Kp.
Граф G’(V’, E’) называется подграфом графа G(V, E) (обозначается G’ G), если V’ V, а E’ – множество всех ребер G, оба конца которых принадлежат V’.
Двудольный граф (или биграф, или четный граф) – это граф G(V, E), такой что множество V разбито на два непересекающихся множества V1 и V2, причем всякое ребро из Е соединяет вершину из V1 с вершиной из V2. Множества V1 и V2 называются долями двудольного графа. Если двудольный граф содержит все ребра, соединяющие множества V1 и V2, то он называется полным двудольным графом. Если V1 = m и V2 = n, то полный двудольный граф обозначается Km,n.
П ример. Диаграмма графа K3,3.
Граф, состоящий из простого цикла с k вершинами, обозначается Ck.
Пример. С3 – треугольник.
Количество ребер, инцидентных вершине v, называется (локальной) степенью (или валентностью) вершины v и обозначается d(v):
0 d(v) p – 1
Если степени всех вершин равны k, то граф называется регулярным (однородным) степени k.
П ример. Диаграмма регулярного графа степени 3.
Для орграфа число дуг, исходящих из вершины v, называется полустепенью исхода, а входящих – полустепенью захода. Обозначаются эти числа, соответственно, d–(v) и d+(v).
Если в орграфе полустепень захода некоторой вершины равна нулю (т.е. d+(v) = 0), то такая вершина называется источником, если же нулю равна полустепень исхода (т.е. d–(v) = 0), то вершина называется стоком.
Графы G1 и G2 равны, то есть G1 = G2, если их множества вершин и ребер совпадают: V1 = V2 и E1 = E2. Графы, отличающиеся только нумерацией вершин и ребер, называются изоморфными.
П ример.
Три внешне различные диаграммы являются диаграммами одного и того же графа.
Д ополнением графа G(V1, E1) называется граф G(V2, E2), где V2 = V1 E2 = = {e V1 V1 e E1}.
G G