Функции нескольких переменных
§1. Основные понятия функции нескольких переменных
Определение функции. Способы задания, область определения, геометрическая интерпретация, линии уровня.
Предел функции нескольких переменных, понятие повторного предела.
Непрерывность функции нескольких переменных. Разрывы функции нескольких переменных. Свойства непрерывных функций.
§2. Производные и дифференциал функции нескольких переменных.
Частные производные функции нескольких переменных и их геометрическая интерпретация.
Производная сложной функции. Производная неявной функции. Производная по направлению. Градиент и его свойства. Повторное дифференцирование.
Полный дифференциал.
Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.
Геометрический смысл полного дифференциала.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
§3. Экстремумы функций нескольких переменных.
Необходимые и достаточные условия экстремума.
Задача о наибольших и наименьших значениях функции двух переменных в замкнутой области.
Двойные интегралы
§1. Определения и простейшие свойства двойного интеграла.
Задача об объеме цилиндрического тела.
Определение двойного интеграла.
Основные свойства двойных интегралов.
§2. Повторные интегралы и их свойства
Повторные интегралы и их свойства.
§3. Вычисление двойного интеграла.
Вычисление двойного интеграла.
§4. Замена переменной в двойном интеграле. Якобиан. Двойной интеграл в полярных координатах.
Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
Приложение двойного интеграла.
Криволинейные интегралы
§1. Криволинейные интегралы первого рода
Определение и свойства криволинейного интеграла 1-го рода.
Сведение криволинейного интеграла первого рода к обыкновенному.
§2. Криволинейные интегралы второго рода (по координатам).
Определение и свойства криволинейного интеграла 2-го рода.
Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.
Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования Формула Грина.
§3. Приложение криволинейных интегралов
Определение площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла второго рода.
Определение координат центра тяжести с помощью криволинейного интеграла 1-го рода.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
§1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Задача Коши
Основные понятия и определения. Общее и частное решение.
Задача Коши. Теорема о существовании и единственности.
Типы уравнений 1-го порядка интегрируемые в квадратурах
Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные уравнения первого порядка.
Уравнение Бернулли.
§2. Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения n-го порядка.
Типы дифференциальных уравнений разрешаемые в квадратурах.
Дифференциальные уравнения второго порядка, приводимые к уравнениям первого порядка (допускающие понижение порядка).
Дифференциальные уравнения высших порядков допускающие понижение порядка.
§3. Линейные уравнения высших порядков. Структура общего решения
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с произвольными коэффициентами. Структура общего решения ЛОДУ.
Линейная зависимость функций. Определитель Вронского. Необходимое условие линейной зависимости и независимости решений ЛОДУ.
Неоднородные линейные уравнения высших порядков. Структура общего решения.
Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
§4. Система обыкновенных дифференциальных уравнений
Основные понятия и определения.
Приведение нормальной системы дифференциальных уравнений к одному уравнению (метод исключения).
Интегрирование линейной системы с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера. Характеристическое уравнение (случай простого спектра).
Числовые ряды
§1. Основные понятия и теоремы
Числовой ряд. Сумма, сходимость ряда.
Необходимый признак сходимости любых числовых рядов.
Простейшие свойства сходящихся рядов.
§2. Сходимость рядов с положительными членами.
Сравнение рядов с положительными членами. Признаки сравнения.
Достаточные признаки сходимости для знакоположительных рядов: признак Д’Аламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак сходимости Маклорена-Коши.
Знакопеременные числовые ряды
§1. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
§2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
.
Степенные ряды
§1. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости и методы его определения.
§2. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
§3. Ряды по степеням (x–a).
§4. Ряды Тейлора и Маклорена.
§5. Разложение элементарных функций:
,
в
ряд Маклорена.
§6. Использование степенных рядов в приближенных вычислениях (функций и интегралов).
Тригонометрические ряды. Ряды Фурье в действительной и комплексной форме
§1. Периодические функции. Тригонометрические. Определение коэффициентов методом
Эйлера –Фурье.
Периодические функции. Тригонометрические. Определение коэффициентов методом Эйлера –Фурье .
Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций.
§2. Условия Дирихле. Достаточное условие представления функции в ряд Фурье.
§3. Разложение четных/нечетных функций в ряд Фурье.
Разложение четных/нечетных функций в ряд Фурье.Разложение функций с периодом 2L в ряд Фурье.
Комплексная форма ряда Фурье.
Интеграл Фурье. Синус, косинус– преобразования Фурье.
Интеграл Фурье в комплексной форме. Комплексное преобразование Фурье.
Список рекомендуемой литературы
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 2.-М.:Наука, 1964.
Бермант А.Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1973.
Никольский С. М. Курс математического анализа Т. 2. - М. : Наука, 1983.
Математический анализ в примерах и задачах. Коллектив авторов кафедры ИМ НГТУ. – Н-сибирск: Изд-во НГТУ, 2006 .
Приложение 2