3. Способы расчета дисперсии. Виды дисперсий, их взаимосвязь.
Дисперсия обладает рядом свойств (доказываемых в математической статистике), которые позволяют упростить расчеты.
1 способ. Дисперсия определяется как разность между средней квадратов вариантов и квадратом их средней:
(5.13)
2 способ. Способ отсчета от условного нуля или способ моментов. Используется при условии равных интервалов.
(5.14)
Дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих признаком (р), и доли единиц, не обладающих им(q) :
(5.15)
Изучая дисперсию признака в пределах изучаемой совокупности мы не можем определить влияние отдельных (случайных) факторов, характеризующих колеблемость индивидуальных значений признака. Это можно сделать при помощи группировок, разделив изучаемую совокупность на группы, однородные по признаку – фактору. При этом определяется три показателя вариации признака в совокупности:
общая дисперсия, межгрупповая дисперсия и средняя из внутригрупповых дисперсий.
Общая дисперсия характеризует вариацию признака, которая зависит от всех факторов. Она определяется по формуле:
. (5.16)
Межгрупповая дисперсия отражает вариацию изучаемого признака под влиянием признака – фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует колеблемость групповых средних около общей средней:
(5.17)
Средняя из внутригрупповых дисперсий характеризует случайную вариацию в каждой отдельной группе. Эта вариация возникает под влиянием случайных, не учтенных факторов и не зависит от фактора, положенного в основу группировки:
(5.18)
Между этими дисперсиями существует соотношение, определяемое правилом сложения дисперсий. Согласно этому правилу, общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:
(5.19)
Это правило имеет большую практическую значимость, т.к. позволяет выявить зависимость результатов от определяющих факторов.
Отношение
межгрупповой дисперсии к общей позволяет
судить о связи между изучаемыми признаками
и называется коэффициентом детерминации(
):
(5.20)
4. Характеристика закономерности рядов распределения
Выяснение общего характера эмпирического распределения предполагает оценку его однородности, а также вычисление показателей асимметрии и эксцесса.
Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равно отстоящих от центра распределения, равны между собой. Для симметричных распределений:
(5.21)
Величина показателя асимметрии может быть положительной и отрицательной. Положительное значение свидетельствует о наличии правосторонней асимметрии, отрицательное – о наличии левосторонней асимметрии.
Наиболее точным и распространенным является показатель, основанный на определении центрального момента третьего порядка:
,
(5.22)
Если
,
асимметрия правосторонняя со смещением
влево.
Оценка степени точности этого показателя определяется с помощью средней квадратической ошибки, которая зависит от объема наблюдений.
Эксцесс характеризует отклонение вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины нормального распределения.
Наиболее точным является показатель, основанный на определении момента четвертого порядка:
(5.23)
Если Eх<3 - распределение плосковершинное.
Оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса позволяет сделать вывод о том, можно ли данное распределение отнести к нормальному.
Контрольные вопросы
1. Что такое вариация признаков?
2. Как следует понимать закономерность распределения? Можно ли ее количественно измерить?
3. По какой формуле целесообразно рассчитывать дисперсию, если средняя - дробное число, например, 1,5?
4. Можно ли сравнить вариация двух признаков, имеющих разное выражение?
5. Изменится ли дисперсия, если все значения признака разделить (умножить) на одну и ту же величину?
6. Как определяется дисперсия альтернативного признака?
7. Какие Вы знаете показатели измерения вариации признаков?
8. Что показывает коэффициент вариации и для какой цели его рассчитывают?
9. Чем характеризуется ряд распределения?
10. Что представляет собой кумулятивный ряд?
11. Что показывают коэффициенты асимметрии и эксцесса?